Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.2. Die Temperaturänderung t im Punkte u, v sei ebenfalls eine Dann folgt aus der Gleichung 5*
2. Die Temperaturänderung t im Punkte u, v sei ebenfalls eine Dann folgt aus der Gleichung 5*
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0079" n="67"/> <p>2. Die Temperaturänderung <hi rendition="#i">t</hi> im Punkte <hi rendition="#i">u, v</hi> sei ebenfalls eine<lb/> geradlinige Funktion von <hi rendition="#i">u</hi> und <hi rendition="#i">v</hi>, es bestehe also die Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">t = t' + t'' v + t''' u</hi>,</hi><lb/> deren Koefficienten gegeben sind, sobald die Temperaturänderungen für<lb/> drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte des Querschnittes bekannt<lb/> sind.</p><lb/> <p>Dann folgt aus der Gleichung<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> für die Spannung σ der Ausdruck<lb/><hi rendition="#c">σ = <hi rendition="#i">E</hi> (<hi rendition="#i">a'</hi> — ε<hi rendition="#i">t'</hi>) + <hi rendition="#i">E</hi> (<hi rendition="#i">a''</hi> — ε<hi rendition="#i">t''</hi>) <hi rendition="#i">v</hi> + <hi rendition="#i">E</hi> (<hi rendition="#i">a'''</hi> — ε <hi rendition="#i">t'''</hi>) <hi rendition="#i">u</hi></hi><lb/> und hierfür soll kürzer geschrieben werden<lb/><hi rendition="#c">σ = <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b v</hi> + <hi rendition="#i">c u</hi>,</hi><lb/> wobei <hi rendition="#i">a, b, c</hi> Konstanten sind, welche sich mit Hilfe der drei Gleich-<lb/> gewichtsbedingungen berechnen lassen. Jene Bedingungen gehen über in<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">N = a ∫ d F + b ∫ v d F + c ∫ u d F</hi><lb/> M sin α = <hi rendition="#i">a ∫ v d F + b ∫ v</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">d F + c ∫ u v d F</hi><lb/> M cos α = <hi rendition="#i">a ∫ u d F + b ∫ u v d F + c ∫ u</hi><hi rendition="#sup">2</hi> <hi rendition="#i">d F</hi>;</hi><lb/> sie nehmen eine besonders einfache Gestalt an, sobald zu den Koor-<lb/> dinatenachsen <hi rendition="#g">Hauptachsen</hi> gewählt werden. In diesem Falle ist das<lb/> Centrifugalmoment <hi rendition="#i">∫ u v d F</hi> = 0, und weiter folgt, da der Ursprung <hi rendition="#i">O</hi><lb/> mit dem Schwerpunkte des Querschnittes zusammenfällt, <hi rendition="#i">∫ u d F</hi> = 0 und<lb/><hi rendition="#i">∫ v d F</hi> = 0. Es ergeben sich die Werthe:<lb/><hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/> in denen <hi rendition="#i">J<hi rendition="#sub">u</hi></hi> und <hi rendition="#i">J<hi rendition="#sub">v</hi></hi> die Trägheitsmomente des Querschnittes in Bezug<lb/> auf die Hauptachsen bedeuten, und es entsteht die <hi rendition="#g">Navier’</hi>sche Formel<lb/><hi rendition="#c">(39) <formula/>.</hi><lb/> Besonders hervorzuheben ist, dass eine ungleichmässige Erwärmung des<lb/> Stabes nach dem Gesetze <hi rendition="#i">t = t' + t'' v + t''' u</hi> nur dann Spannungen σ<lb/> hervorbringt, wenn die Werthe <hi rendition="#i">N</hi> und M von den Temperaturänderungen<lb/> abhängig sind, was nur bei statisch unbestimmten Stäben der Fall sein<lb/> kann. Verschwinden alle äusseren Kräfte, so verschwinden auch die<lb/> Spannungen σ.</p><lb/> <fw place="bottom" type="sig">5*</fw><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [67/0079]
2. Die Temperaturänderung t im Punkte u, v sei ebenfalls eine
geradlinige Funktion von u und v, es bestehe also die Gleichung
t = t' + t'' v + t''' u,
deren Koefficienten gegeben sind, sobald die Temperaturänderungen für
drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte des Querschnittes bekannt
sind.
Dann folgt aus der Gleichung
[FORMEL] für die Spannung σ der Ausdruck
σ = E (a' — εt') + E (a'' — εt'') v + E (a''' — ε t''') u
und hierfür soll kürzer geschrieben werden
σ = a + b v + c u,
wobei a, b, c Konstanten sind, welche sich mit Hilfe der drei Gleich-
gewichtsbedingungen berechnen lassen. Jene Bedingungen gehen über in
N = a ∫ d F + b ∫ v d F + c ∫ u d F
M sin α = a ∫ v d F + b ∫ v2 d F + c ∫ u v d F
M cos α = a ∫ u d F + b ∫ u v d F + c ∫ u2 d F;
sie nehmen eine besonders einfache Gestalt an, sobald zu den Koor-
dinatenachsen Hauptachsen gewählt werden. In diesem Falle ist das
Centrifugalmoment ∫ u v d F = 0, und weiter folgt, da der Ursprung O
mit dem Schwerpunkte des Querschnittes zusammenfällt, ∫ u d F = 0 und
∫ v d F = 0. Es ergeben sich die Werthe:
[FORMEL],
in denen Ju und Jv die Trägheitsmomente des Querschnittes in Bezug
auf die Hauptachsen bedeuten, und es entsteht die Navier’sche Formel
(39) [FORMEL].
Besonders hervorzuheben ist, dass eine ungleichmässige Erwärmung des
Stabes nach dem Gesetze t = t' + t'' v + t''' u nur dann Spannungen σ
hervorbringt, wenn die Werthe N und M von den Temperaturänderungen
abhängig sind, was nur bei statisch unbestimmten Stäben der Fall sein
kann. Verschwinden alle äusseren Kräfte, so verschwinden auch die
Spannungen σ.
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Zitationshilfe: | Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 67. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/79>, abgerufen am 08.07.2024. |