Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

Berechnung der Δ ϑ_m. Wir beschränken uns in diesem Buche
auf die Behandlung des Falles, in welchem das

[Abbildung] Fig. 17.

Fachwerk durch Aneinanderfügung von Dreiecken
entstanden gedacht werden kann. Es setzt sich
dann jeder Winkel ϑ aus einzelnen Dreieckswinkeln
zusammen, und es genügt, die Berechnung der
Aenderung eines solchen zu zeigen.

Sind a₁, a₂, a₃ die Seiten eines Dreiecks und
α₁, α₂, α₃ die ihnen gegenüberliegenden Winkel,
und bedeutet h das Loth von A auf a₁, so folgt:
a₁ = a₂ cos α₃ + a₃ cos α₂
und hieraus durch Differentiiren:
Δ a₁ = Δ a₂ cos α₃ — a₂ sin α₃ Δ α₃ + Δ a₃ cos α₂ — a₃ sin α₂ Δ α₂
[Formel 1] .

Nun ist aber α₁ + α₂ + α₃ = 180° also Δ α₁ + Δ α₂ + Δ α₃ = 0
und Δ α₂ + Δ α₃ = — Δ α₁, ferner ist a₂ cos α₃ = h cotg α₃ und
a₃ cos α₂ = h cotg α₂, weshalb sich ergiebt:
[Formel 2] .
Bezeichnet man mit σ₁, σ₂, σ₃ die Spannungen in den Stä ben a₁, a₂
a₃ und setzt die Temperaturänderung

[Abbildung] Fig. 18.

t = 0 voraus, so ist
[Formel 3] .
Beachtet man noch
[Formel 4] ,
so findet man, wenn E konstant ist, zur Berechnung der durch die
Spannungen σ hervorgebrachten Winkeländerung die Gleichung
(14) E Δ α₁ = (σ₁ — σ₂) cotg α₃ + (σ₁ — σ₃) cotg α₂.
Für die Aenderung des Winkels ϑ in Fig. 18 ergiebt sich z. B. mit
den an die einzelnen Stäbe geschriebenen Spannungen σ die Gleichung:
(15) E Δ ϑ = (σ₂ — σ₁) cotg α₁ + (σ₂ — σ₃) cotg α₂ + (σ₄ — σ₃) cotg α₃
+ (σ₄ — σ₅) cotg α₄ + (σ₆ — σ₅) cotg α₅ + (σ₆ — σ₇) cotg α₆.

Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ergiebt
sich die Aenderung Δ s einer Stablänge s aus
[Formel 5] ;