Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.wobei zu merken ist, dass Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und Man nennt gx, gy, gz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um gx verschiebt sich Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten wobei zu merken ist, dass Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und Man nennt γx, γy, γz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um γx verschiebt sich Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0183" n="171"/> wobei zu merken ist, dass<lb/><hi rendition="#c">τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> ⊥ <hi rendition="#i">d x</hi>, τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> ⊥ <hi rendition="#i">d y</hi>, τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> ⊥ <hi rendition="#i">d z</hi>.</hi></p><lb/> <p>Aendern sich die anfänglichen Längen <hi rendition="#i">d x, d y, d z</hi> um Strecken<lb/> Δ <hi rendition="#i">d x</hi>, Δ <hi rendition="#i">d y</hi>, Δ <hi rendition="#i">d z</hi>, so leisten die von den Spannungen σ herrührenden<lb/> Kräfte σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d y d z</hi>, σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi> d z d x</hi>, σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi> d x d y</hi> die virtuelle Arbeit<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">d A<hi rendition="#sub">v</hi></hi> = σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d y d z</hi> Δ <hi rendition="#i">d x</hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi> d z d x</hi> Δ <hi rendition="#i">d y</hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi> d x d y</hi> Δ <hi rendition="#i">d z<lb/><formula/> d x d y d z</hi></hi><lb/> und hierfür kann, wenn die in der Folge <hi rendition="#g">Dehnungen</hi> genannten Ver-<lb/> längerungs-Verhältnisse mit<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens <hi rendition="#i">d x d y d z</hi> = <hi rendition="#i">d V</hi><lb/> gesetzt wird, geschrieben werden<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">d A<hi rendition="#sub">v</hi></hi> = (σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi>) <hi rendition="#i">d V</hi>.</hi></p><lb/> <p>Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und<lb/> es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117:<lb/><hi rendition="#c">γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> die Aenderung des Winkels <hi rendition="#i">Y O Z</hi>,<lb/> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> „ „ „ „ <hi rendition="#i">Z O X</hi>,<lb/> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> „ „ „ „ <hi rendition="#i">X O Y</hi>.</hi></p><lb/> <p>Man nennt γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi>, γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi>, γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> die <hi rendition="#g">Gleitungen</hi> im Punkte <hi rendition="#i">x y z</hi>; sie seien<lb/> positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen<lb/> der Winkel <hi rendition="#i">Y O Z, Z O X, X O Y</hi> vorstellen.</p><lb/> <p>In Folge der Aenderung des Winkels <hi rendition="#i">Y O Z</hi> um γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> verschiebt sich<lb/> die Fläche <hi rendition="#i">Y O'</hi> im Sinne <hi rendition="#i">O Z</hi> gegen die Fläche <hi rendition="#i">O Y'</hi> um γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d y</hi>, wobei<lb/> dann die in <hi rendition="#i">Y O'</hi> und senkrecht zu <hi rendition="#i">d x</hi> wirksame Schubkraft τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d x d z</hi><lb/> die virtuelle Arbeit τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d x d z</hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d y</hi> leistet, oder es verschiebt sich die<lb/> Fläche <hi rendition="#i">Z O'</hi> im Sinne <hi rendition="#i">O Y</hi> gegen die Fläche <hi rendition="#i">O Z'</hi> um die Strecke γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d z</hi>,<lb/> bei welcher Bewegung die in <hi rendition="#i">Z O'</hi> und senkrecht zu <hi rendition="#i">d x</hi> wirkende Schub-<lb/> kraft τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d x d y</hi> die Arbeit τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d x d y</hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d z</hi> verrichtet. In beiden Fällen<lb/> entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">d A<hi rendition="#sub">v</hi></hi> = τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d x d y d z</hi> = τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi> d V</hi>,</hi><lb/> und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> und γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> ent-<lb/> sprechenden virtuellen Arbeiten<lb/><hi rendition="#c">τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi> d V</hi> und τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi> d V</hi>,</hi><lb/> so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa-<lb/> rallepipedum angreifenden Kräfte gleich<lb/><hi rendition="#c">(σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> + τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> + τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> + τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi>) <hi rendition="#i">d V</hi></hi><lb/> wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers:<lb/><hi rendition="#c">(141) <hi rendition="#i">A<hi rendition="#sub">v</hi></hi> = ∫ (σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> + σ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> ε<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> + τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">x</hi></hi> + τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">y</hi></hi> + τ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi> γ<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">z</hi></hi>) <hi rendition="#i">d V</hi>.</hi></p><lb/> <p>Setzt man nun <hi rendition="#i">A<hi rendition="#sub">v</hi></hi> gleich der von den äusseren Kräften geleisteten<lb/> virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [171/0183]
wobei zu merken ist, dass
τx ⊥ d x, τy ⊥ d y, τz ⊥ d z.
Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken
Δ d x, Δ d y, Δ d z, so leisten die von den Spannungen σ herrührenden
Kräfte σx d y d z, σy d z d x, σz d x d y die virtuelle Arbeit
d Av = σx d y d z Δ d x + σy d z d x Δ d y + σz d x d y Δ d z
[FORMEL] d x d y d z
und hierfür kann, wenn die in der Folge Dehnungen genannten Ver-
längerungs-Verhältnisse mit
[FORMEL] bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens d x d y d z = d V
gesetzt wird, geschrieben werden
d Av = (σx εx + σy εy + σz εz) d V.
Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und
es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117:
γx die Aenderung des Winkels Y O Z,
γy „ „ „ „ Z O X,
γz „ „ „ „ X O Y.
Man nennt γx, γy, γz die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien
positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen
der Winkel Y O Z, Z O X, X O Y vorstellen.
In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um γx verschiebt sich
die Fläche Y O' im Sinne O Z gegen die Fläche O Y' um γx d y, wobei
dann die in Y O' und senkrecht zu d x wirksame Schubkraft τx d x d z
die virtuelle Arbeit τx d x d z γx d y leistet, oder es verschiebt sich die
Fläche Z O' im Sinne O Y gegen die Fläche O Z' um die Strecke γx d z,
bei welcher Bewegung die in Z O' und senkrecht zu d x wirkende Schub-
kraft τx d x d y die Arbeit τx d x d y γx d z verrichtet. In beiden Fällen
entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit:
d Av = τx γx d x d y d z = τx γx d V,
und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen γy und γz ent-
sprechenden virtuellen Arbeiten
τy γy d V und τz γz d V,
so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa-
rallepipedum angreifenden Kräfte gleich
(σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V
wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers:
(141) Av = ∫ (σx εx + σy εy + σz εz + τx γx + τy γy + τz γz) d V.
Setzt man nun Av gleich der von den äusseren Kräften geleisteten
virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung
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Zitationshilfe: | Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886, S. 171. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mueller_festigkeitslehre_1886/183>, abgerufen am 19.07.2024. |