Müller-Breslau, Heinrich: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Leipzig, 1886.

wobei zu merken ist, dass
τ_x ⊥ d x, τ_y ⊥ d y, τ_z ⊥ d z.

Aendern sich die anfänglichen Längen d x, d y, d z um Strecken
Δ d x, Δ d y, Δ d z, so leisten die von den Spannungen σ herrührenden
Kräfte σ_x d y d z, σ_y d z d x, σ_z d x d y die virtuelle Arbeit
d A_v = σ_x d y d z Δ d x + σ_y d z d x Δ d y + σ_z d x d y Δ d z
[Formel 1] d x d y d z
und hierfür kann, wenn die in der Folge Dehnungen genannten Ver-
längerungs-Verhältnisse mit
[Formel 2] bezeichnet werden und der Inhalt des Körpertheilchens d x d y d z = d V
gesetzt wird, geschrieben werden
d A_v = (σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z) d V.

Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen, und
es sei, mit Bezugnahme auf Fig. 117:
γ_x die Aenderung des Winkels Y O Z,
γ_y „ „ „ „ Z O X,
γ_z „ „ „ „ X O Y.

Man nennt γ_x, γ_y, γ_z die Gleitungen im Punkte x y z; sie seien
positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösserungen
der Winkel Y O Z, Z O X, X O Y vorstellen.

In Folge der Aenderung des Winkels Y O Z um γ_x verschiebt sich
die Fläche Y O' im Sinne O Z gegen die Fläche O Y' um γ_x d y, wobei
dann die in Y O' und senkrecht zu d x wirksame Schubkraft τ_x d x d z
die virtuelle Arbeit τ_x d x d z γ_x d y leistet, oder es verschiebt sich die
Fläche Z O' im Sinne O Y gegen die Fläche O Z' um die Strecke γ_x d z,
bei welcher Bewegung die in Z O' und senkrecht zu d x wirkende Schub-
kraft τ_x d x d y die Arbeit τ_x d x d y γ_x d z verrichtet. In beiden Fällen
entsteht die virtuelle Formänderungs-Arbeit:
d A_v = τ_x γ_x d x d y d z = τ_x γ_x d V,
und ebenso ergeben sich die den Winkeländerungen γ_y und γ_z ent-
sprechenden virtuellen Arbeiten
τ_y γ_y d V und τ_z γ_z d V,
so dass die gesammte virtuelle Formänderungs-Arbeit der an dem Pa-
rallepipedum angreifenden Kräfte gleich
(σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z + τ_x γ_x + τ_y γ_y + τ_z γ_z) d V
wird und diejenige sämmtlicher inneren Kräfte des Körpers:
(141) A_v = ∫ (σ_x ε_x + σ_y ε_y + σ_z ε_z + τ_x γ_x + τ_y γ_y + τ_z γ_z) d V.

Setzt man nun A_v gleich der von den äusseren Kräften geleisteten
virtuellen Arbeit, so erhält man die Gleichung