Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

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weiten l₁ und l₂ abhängige Lage. Dieſe feſte Ordinate ſchnei-
det daher die Linie B₁ D₂ in einem feſten Punkte E₂. Man
findet dieſen Punkt E₂ (Fig. 34), indem man für B₁ W₁
zunächſt eine beliebige Lage annimmt. Dadurch iſt als-
dann die Lage der beiden Linien W₁ U₂ und H₂ U₂ und
ſonach auch der Schnittpunkt E₂ in der Linie B₁ D₂ be-
ſtimmt. Aus dieſer einfachen ſtatiſchen Betrachtung ergiebt
ſich ſonach der Beweis für folgenden rein geometriſchen Satz:

Drei gerade Linien B₁ W₁, W₁ U₂ und H₂ U₂ bewe-
gen ſich ſo, daß ihre Schnittpunkte W₁, H₂ und U₂ drei
Parallellinien beſchreiben. Wenn hiebei zwei der Linien z. B.
B₁ W₁ und W₁ U₂ um zwei feſte Punkte B₁ und D₂ ſich
drehen, ſo dreht ſich auch die dritte Linie H₂ U₂ um einen
feſten Punkt E₂. Die drei feſten Punkte B₁, D₂ und E₂
liegen in einer geraden Linie.

Da die Lage der Punkte B₁ und D₂ und der Kräfte
W₁ und U₂, da ferner das Verhältniß dieſer beiden Kräfte
zu einander beliebig gewählt werden kann, wodurch die Lage
der dritten Parallellinie R nach Belieben feſtgelegt wird, ſo
iſt der obige ſtatiſche Beweis allgemein gültig und nicht
etwa von den dort vorkommenden Zahlenverhältniſſen ab-
hängig.

Die Abſciſſe der Kraft Z oder des Punktes E₂ iſt nur
abhängig von den Abſciſſen der Kräfte ⅓ W₁, W₁ und U₂,
dagegen unabhängig von den Ordinaten der Punkte B₁ und
D₂. Die Abſciſſe des Punktes E₂ findet man alſo durch die
in der Hülfsfigur 32) angegebene Conſtruction. Die Abſciſſen
der Punkte A₁, G₁, A₂, H₂, K₂ in Fig. 32) ſtimmen überein
mit den Abſciſſen der Punkte B₁, W₁, D₂, H₂, U₂ in Fig. 31)
und 34); daher ergiebt der Punkt N₂ die Abſciſſe des Punk-
tes E₂.

Von den drei Seiten U₂ W₂, W₂ U₃ und U₃ W₃
(Fig. 31) iſt nunmehr Folgendes bekannt:

1) Die Seite U₂ W₂ geht durch den feſten Punkt E₂
und die Seite W₂ U₃ durch den feſten Punkt D₃.

2) Die drei Schnittpunkte der genannten drei Linien
liegen in den Ordinaten der Kräfte W₂, U₃ und der durch
das Verhältniß
[Formel 1] feſtgelegten Mittelkraft von W₂ und U₃. Durch dieſe Be-
dingungen iſt der feſte Punkt E₃ in der Seite U₃ W₃ be-
ſtimmt. Die Abſciſſe des Punktes E₃ ergiebt ſich aus der
Hülfsfigur 32) und die Ordinate durch die Linie E₂ D₃ in
Fig. 31).

In derſelben Weiſe wird der Punkt E₄ in der Polygon-
ſeite B₅ U₄ feſtgelegt, und damit iſt die Aufgabe gelöſt:
denn durch B₅ E₄ iſt der Punkt U₄
„ U₄ D₄ „ „ „ W₃
„ W₃ E₃ „ „ „ U₃
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durch U₃ D₃ iſt der Punkt W₂
„ W₂ E₂ „ „ „ U₂
„ U₂ D₂ „ „ „ W₁
feſtgelegt.

Die Größen von U und W und damit die Größen der
Biegungsmomente über den Mittelſtützen ergeben ſich aus
Fig. 35), in welcher die Strahlen mit den gleich benannten
Polygonſeiten (Fig. 31) parallel laufen. Die Maaßſtäbe für
den Horizontalzug E·T und für die Belaſtungen W und
U müſſen in dieſer Figur natürlich dieſelben ſein, wie in der
Hülfsfigur, nach welcher das Seilpolygon der poſitiven Be-
laſtungen V conſtruirt wurde. Letztere Hülfsfigur iſt hier
fortgelaſſen, weil ſie für die übrigen Operationen nicht weiter
benutzt wurde.

In der oben beſchriebenen Conſtruction pflanzen die Zeich-
nungsfehler ſich fort, und es iſt daher nothwendig, eine Controle
für die Richtigkeit der Zeichnung ſich zu verſchaffen. Dieſe
Controle gewinnt man dadurch, daß man von der Endſtütze
B₅ nach links fortſchreitend eine zweite Reihe von Fixpunkten
F₃, F₂, F₁ in ganz derſelben Weiſe beſtimmt, wie die Punkte
E₂, E₃, E₄ von B₁ aus feſtgelegt wurden. Die zu dieſem
Zweck ausgeführte Hülfsfigur 33) Blatt 398 wird demnach einer
weiteren Erklärung wohl nicht bedürfen. Durch die Punkte
E, F ſind ſonach die Polygonſeiten B₁ W₁, U₂ W₂, U₃ W₃
und U₄ B₅ feſtgelegt und die Controle für die Richtigkeit
der Zeichnung beſteht darin, daß die Punkte (Fig. 31)
W₁ D₂ U₂
W₂ D₃ U₃
W₃ D₄ U₄
in geraden Linien liegen müſſen.

Lage der Fixpunkte N und O (Fig. 32 und 33). gegen die
benachbarten Stützpunkte.

Eine merkwürdige Eigenſchaft der Fixpunkte N und O
erkennt man, wenn man den Fall unterſucht, in welchem die
ſämmtlichen Stützpunkte in einer Horizontalen liegen, eine
Oeffnung in beliebiger Weiſe belaſtet iſt, dagegen alle übrigen
Oeffnungen keine Belaſtungen tragen. In Fig. 36 (Blatt 398)
iſt beiſpielsweiſe angenommen, daß nur die erſte der vier
Oeffnungen belaſtet ſei. Das Seilpolygon der Kräfte V bil-
det daher ein Dreieck B₁ V₁ B₅ und die Punkte D₂, D₃ und
D₄ liegen in Folge deſſen in einer geraden Linie. Die Weiten
der einzelnen Oeffnungen ſind dieſelben, wie in Fig. 31, und
die Abſciſſen der Punkte F konnten demnach aus der letzteren
entnommen werden. Aus Fig. 31) geht unmittelbar hervor,
daß wenn die Punkte D₄, D₃, D₂ in einer geraden Linie
liegen, die Punkte F₃, F₂, F₁ in derſelben geraden Linie lie-
gen müſſen. Das Seilpolygon der unbekannten Kräfte U
und W nimmt daher die in Fig. 36) dargeſtellte einfache
Form an. Man erkennt aus dieſer Form ohne Weiteres,

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