Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

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der Momente dieſer Kräfte, bezogen auf irgend einen Punkt,
alſo auch auf den Punkt C, iſt gleich Null und wenn man
die Seilſpannung S₅ in dem Punkte. D nach horizontaler und
verticaler Richtung zerlegt, ſo iſt jene Momentenſumme
13) [Formel 1]
folglich
14) [Formel 2]

Aus dieſer Beziehung ergiebt ſich, was freilich ſchon
aus der Form der Gleichung 4) hervorgeht, daß, wenn man
zwei Seilpolygone für dieſelben Verticalkräfte aber mit zwei
verſchiedenen Horizontalzügen H₁ und H₂ conſtruirt, die
correſpondirenden Verticalordinaten dieſer zwei Polygone, be-
zogen auf irgend eine Polygonſeite, umgekehrt zu einander
ſich verhalten wie die beiden Horizontalzüge. Dieſe Eigen-
ſchaft ermöglicht die Anwendung der graphiſchen Methode auf
die Theorie der elaſtiſchen Linie. Der Horizontalzug E der
von der elaſtiſchen Linie gebildeten Seilcurve iſt in faſt allen
Fällen der Praxis ſo außerordentlich groß im Verhältniß zu
den Belaſtungen [Formel 3] , daß die Ordinaten der Curve verſchwin-
dend klein ausfallen würden, wenn man (vergl. Fig. 4) die
Belaſtungen und den Horizontalzug in demſelben Maaß-
ſtabe auftragen wollte. Vermöge jener Eigenſchaft der Seil-
polygone und Seilcurven kann man aber den Horizontalzug
und die Belaſtungen nach zwei verſchiedenen Maaßſtäben
auftragen und braucht alsdann nur die auf eine Tangente oder
Sehne bezogenen verticalen Ordinaten der Curve in dem Ver-
hältniß jener zwei Maaßſtäbe zu verjüngen, um die wirklichen
Ordinatenwerthe zu erhalten. Wenn es ſich darum handelt,
die Größen von Durchbiegungen aus der Zeichnung zu ent-
nehmen, ſo iſt es in der Regel am zweckmäßigſten, das Ver-
hältniß des Maaßſtabes des Horizontalzugs E zu dem Maaß-
ſtab der Belaſtungen [Formel 4] genau ſo groß zu wählen, wie das
Verhältniß der Abſciſſen in der Zeichnung zu den wirklichen
Abſciſſenlängen, wenn alſo z. B. die Abſciſſen in dem Maaß-
ſtabe 1:300 gezeichnet werden, die Belaſtungen [Formel 5] in einem
dreihundert Mal größeren Maaßſtab aufzutragen, als den Hori-
zontalzug E. Da in Folge deſſen die Ordinaten des Seil-
polygons im Verhältniß zu den Abſciſſen dreihundertfach ver-
größert erſcheinen, ſo erhält man in der Zeichnung die Durch-
biegungen in natürlicher Größe.

15) Conſtruirt man mit demſelben Horizontalzug H
ein Seilpolygon (Fig. 8) für die Belaſtungen P₁, P₂, P₃
nebſt den zugehörigen Auflagerdrücken Q₁ und Q₂, ein zweites
Seilpolygon (Fig. 9) unter ſonſt gleichen Umſtänden mit
Hinzunahme einer vierten Belaſtung P₄ und ein drittes Poly-
gon (Fig. 10) nur für die Belaſtung P₄ und bezeichnet man
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die Verticalordinaten dieſer drei Polygone in Bezug auf die
Verbindungslinien der Auflager mit y₁, y₂ und y₃, ſo iſt
für jede Abſciſſe
[Formel 6] Denn das von der Ordinate y₂ gemeſſene Biegungsmoment
der vier Belaſtungen P₁, P₂, P₃, P₄ iſt gleich der Summe
der beiden Biegungsmomente, welche von P₁, P₂, P₃ und von
P₄ erzeugt, und durch y₁ und y₃ dargeſtellt werden. Hieraus
folgt, daß die Zunabme der Durchbiegung eines belaſteten
Trägers in Folge einer neu hinzukommenden Belaſtung in
irgend einem Punkte gleich iſt derjenigen Durchbiegung, welche
der gewichtsloſe Träger allein unter Einwirkung jener Be-
laſtung in dem betrachteten Punkte annehmen würde.

16) Fig. 11) Blatt 397 ſei die Darſtellung der Belaſtung
eines Seils in der Art, daß die Belaſtung pro Längeneinheit
der horizontalen Abſciſſenachſe in jedem Punkte durch die
Ordinate der Curve A₁ A₂ A₃ A₄ gemeſſen wird. Die
Fläche A₁ A₂ A₃ A₄, welche die Belaſtungsfläche genannt
wird, iſt durch Ordinaten A₂ A₂, A₃ A₃ in beliebige Theile
zerlegt, und in den Schwerpunkten dieſer Flächentheile ſind
Verticalkräfte P₁, P₂, P₃ angebracht, deren Größen dem Inhalt
der betreffenden Flächen entſprechen. Conſtruirt man nun aus
dem Horizontalzug H und jenen Einzelkräften ein Seil-
polygon a₁ a₂ a₃ a₄ (Fig. 12), ſo berührt dieſes Polygon
die Seilcurve, welche der in Fig. 11) dargeſtellten Belaſtung
entſpricht, in den Verticalen der Theilpunkte A₁, A₂, A₃ und
A₄. Denn in dieſen Punkten ſtimmen ſowohl die Momenten-
gleichungen, wie auch die verticalen Seitenkräfte der Seil-
ſpannungen für das Seilpolygon und für die Seilcurve mit
einander überein. Durch entſprechende Theilung der Be-
laſtungsfläche kann man ſonach eine beliebig große Anzahl
von Punkten der Seilcurve feſtlegen. Bezeichnet man mit
Q₁ und Q₂ die Drücke der Belaſtungsfläche auf die beiden
Auflager A₁ und A₄ und theilt man die Belaſtungsfläche durch
die Ordinate C D ſo, daß
[Formel 7] und
[Formel 8] wird, ſo liegt die größte Ordinate c d der Seilcurve in der
Verticalen der Ordinate C D, weil die Seilcurve in dem
Punkte d zur Verbindungslinie a₁ a₄ der beiden Auflager
parallel gerichtet iſt.

17) Um die elaſtiſche Linie für einen Balken von ver-
änderlichem Querſchnitt zu conſtruiren, kann man die graphi-
ſche Darſtellung der Größe [Formel 9] ausführen, dieſe Belaſtungs-
fläche durch Ordinaten zerlegen, die Flächentheile durch Einzel-
kräfte erſetzen und aus dieſen ein Seilpolygon mit dem con-
ſtanten Horizontalzug E darſtellen. In den meiſten Fällen
gelangt man jedoch einfacher zu Ziele, wenn man in der