Mohr, Christian Otto: Beiträge zur Theorie der Holz- und Eisenkonstruktionen. In: Zeitschrift des Architekten- und Ingenieurvereins zu Hannover 14 (1868), Sp. 20-52, 397-400

Mohr, Beitrag zur Theorie der Holz- und Eiſen-Conſtructionen.

[Spaltenumbruch]
1) [Formel 1]
und
2) [Formel 2]
iſt; außerdem geht aus der Fig. 2) Blatt 397 hervor, daß
3) [Formel 3]
ſein muß.

Durch Differentiiren folgt hieraus
[Formel 4] oder
4) [Formel 5]

Wenn man die oben bezeichnete Vereinfachung des Aus-
drucks für den Krümmungshalbmeſſer einführt, ſo erhält die
Grundgleichung der elaſtiſchen Linie bekanntlich folgende Form:
5) [Formel 6]
worin E den Elaſticitätsmodul des Materials, M das Biegungs-
moment der Außenkräfte und T das Trägheitsmoment des
Trägerquerſchnitts bezeichnet. Aus der Vergleichung der beiden
Ausdrücke 4) und 5) geht hervor, daß die elaſtiſche Linie
eine Seilcurve iſt, daß der Horizontalzug dieſes
Seils durch die conſtante Größe E und die Verti-
calbelaſtung pro Längeneinheit der Horizontal-
projection durch die variable Größe [Formel 7] dargeſtellt
wird ^*).

Dieſe einfache Beziehung gewährt nicht allein die Mög-
lichkeit, faſt alle hierher gehörenden Aufgaben auf geometriſchem
Wege zu löſen, ſondern ſie vereinfacht in manchen Fällen auch
den Weg der Rechnung in beachtenswerther Weiſe.

Um bei den nachfolgenden Anwendungen durch Neben-
betrachtungen nicht aufgehalten zu werden, ſtellen wir die
hauptſächlichſten Eigenſchaften des mit Verticalkräften belaſte-
ten Seilpolygons hier zuſammen und numeriren dieſelben der
leichteren Bezeichnung wegen fortlaufend mit den Gleichungen.

Ein Seil (Fig. 3 Blatt 397), welches in einzelnen Punkten
mit Verticalkräften P₁, P₂, P₃ ...... belaſtet iſt, bildet ein
Polygon von folgenden Eigenſchaften:

6) Jede Belaſtung, z. B. P₃, bildet mit den Seilſpan-
[Spaltenumbruch]
nungen S₃ und S₄ der zwei benachbarten Polygonſeiten ein
Parallelogramm der Kräfte oder, was dasſelbe iſt, dieſe drei
Kräfte, nach Größe und Richtung aneinander getragen, bilden
ein Dreieck.

7) Die horizontalen Seitenkräfte aller Seilſpannungen
S₁, S₂, S₃ ..... ſind gleich groß (Gleichung 1).

8) Setzt man die Dreiecke (vergl. 6), welche von den
Belaſtungen und den Seilſpannungen der zwei anliegenden
Polygonſeiten gebildet werden, an einander, ſo entſteht die
Figur 4), welche man als Hülfsfigur für die Conſtruction des
Seilpolygons benutzen kann. Man erhält ſonach Größe und
Richtung der Seilſpannungen, wenn man die Belaſtungen P₁,
P₂, P₃, ..... in der Reihenfolge ihrer Abſciſſen auf eine
Verticallinie A A (Fig. 4) trägt und die Theilpunkte mit
einem Punkte C verbindet, deſſen Horizontalabſtand von der
Verticallinie A A gleich dem Horizontalzug H des Seils iſt.
Die Lage des Punktes C auf der Verticallinie B B kann
beliebig angenommen werden; iſt jedoch die Richtung einer
Seilſpannung gegeben, ſo iſt damit auch die Lage des Punktes
C beſtimmt. Das Seilpolygon entſteht alſo, indem man die
Polygonſeiten (Fig. 3) zu den gleich bezifferten Richtungen
der Seilſpannungen in der Hülfsfigur 4) parallel zieht.

9) Je zwei Polygonſeiten z. B. S₁ und S₆ (Fig. 3)
ſchneiden die Mittelkraft R der zwiſchen ihnen liegenden Be-
laſtungen P₁, P₂, P₃, P₄ und P₅ in einem und demſelben
Punkte D, weil die drei Kräfte S₁, R und S₆ einander das
Gleichgewicht halten.

10) Conſtruirt man (Fig. 5 und 6 Blatt 397) ein Seil-
polygon aus den zwei Auflagerdrücken Q₁ und Q₂ und den
Belaſtungen P₁, P₂, P₃ und P₄ eines in zwei Punkten frei
unterſtützten Trägers, ſo liegen die beiden äußerſten Polygon-
ſeiten S₁ und S₇ in einer geraden Linie. Denn da die Kräfte
Q₁, Q₂, P₁, P₂, P₃ und P₄ im Gleichgewicht ſich befinden,
und außer dieſen Kräften nur noch die beiden Spannungen
S₁ und S₇ von Außen auf das Seil einwirken, ſo müſſen
auch dieſe zwei Kräfte einander das Gleichgewicht halten, d. h.
ſie müſſen in derſelben geraden Linie wirken, gleich groß und
entgegengeſetzt gerichtet ſein.

11) Das Product H·y aus dem Horizontalzug H und
der verticalen Ordinate y des Seilpolygons (Fig. 6 und 7
Blatt 397), bezogen auf die gerade Verbindungslinie S₁ S₇ der
beiden äußerſten Polygonſeiten, iſt gleich dem Biegungsmoment,
welches auf den in Fig. 5) dargeſtellten Träger in dem Ver-
ticalſchnitt C D einwirkt, denn nach den Bezeichnungen der
Fig. 5 und 7) Blatt 397 iſt dieſes Biegungsmoment
12) [Formel 9]

Auf das im Gleichgewicht befindliche Seilſtück (Fig. 7)
wirken die Verticalkräfte Q₁, P₁, P₂, P₃ und die beiden
Seilſpannungen S₁ und S₅ von Außen ein. Die Summe

*) Anſchaulicher wird dieſe Beziehung, wenn man beide Seiten
der Gleichung 5) mit dem Quadrat der Längeneinheit, alſo etwa mit
1 □ Meter multiplicirt; alsdann wird E. 1 □ Meter eine wirkliche Kraft
und [Formel 8] . 1 □ Meter eine wirkliche Belaſtung pro Längeneinheit.

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