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Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883.

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Drittes Kapitel.
[Formel 1] ,
wobei r und r' die den Krümmungslinienelementen p, q
zugehörigen Krümmungsradien, die sogenannten Haupt-
krümmungsradien, vorstellen. Wir rechnen in der üb-
lichen Weise den Krümmungsradius eines nach aussen
convexen Elementes positiv, jenen eines nach aussen
concaven Elementes negativ. Für die Variation des
Elementes erhalten wir dann
[Formel 2] .
[Abbildung] Fig. 202.
Mit Vernachlässigung der höheren
Potenzen von [d]n finden wir
[Formel 3] .
Die Variation der gesammten Ober-
fläche wird ausgedrückt durch
[Formel 4] und die Normalverschiebungen müssen
so gewählt werden, dass zugleich
[Formel 5] d. h. die Summe der Räume, welche durch Hinaus-
und Hineinschieben der Oberflächenelemente entstehen
(die letztern negativ gerechnet) Null wird, dass also das
Volum constant bleibt.

Die Ausdrücke 1 und 2 können nur dann beide zu-
gleich allgemein = o gesetzt werden, wenn
für alle Punkte der Oberfläche denselben Werth hat.
Dies sehen wir leicht durch folgende Ueberlegung.
Die Elemente dO der ursprünglichen Oberfläche stellen
wir uns symbolisch durch die Elemente der Linie AX

Drittes Kapitel.
[Formel 1] ,
wobei r und r′ die den Krümmungslinienelementen p, q
zugehörigen Krümmungsradien, die sogenannten Haupt-
krümmungsradien, vorstellen. Wir rechnen in der üb-
lichen Weise den Krümmungsradius eines nach aussen
convexen Elementes positiv, jenen eines nach aussen
concaven Elementes negativ. Für die Variation des
Elementes erhalten wir dann
[Formel 2] .
[Abbildung] Fig. 202.
Mit Vernachlässigung der höheren
Potenzen von [δ]n finden wir
[Formel 3] .
Die Variation der gesammten Ober-
fläche wird ausgedrückt durch
[Formel 4] und die Normalverschiebungen müssen
so gewählt werden, dass zugleich
[Formel 5] d. h. die Summe der Räume, welche durch Hinaus-
und Hineinschieben der Oberflächenelemente entstehen
(die letztern negativ gerechnet) Null wird, dass also das
Volum constant bleibt.

Die Ausdrücke 1 und 2 können nur dann beide zu-
gleich allgemein = o gesetzt werden, wenn
für alle Punkte der Oberfläche denselben Werth hat.
Dies sehen wir leicht durch folgende Ueberlegung.
Die Elemente dO der ursprünglichen Oberfläche stellen
wir uns symbolisch durch die Elemente der Linie AX

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[364/0376] Drittes Kapitel. [FORMEL], wobei r und r′ die den Krümmungslinienelementen p, q zugehörigen Krümmungsradien, die sogenannten Haupt- krümmungsradien, vorstellen. Wir rechnen in der üb- lichen Weise den Krümmungsradius eines nach aussen convexen Elementes positiv, jenen eines nach aussen concaven Elementes negativ. Für die Variation des Elementes erhalten wir dann [FORMEL]. [Abbildung Fig. 202.] Mit Vernachlässigung der höheren Potenzen von δn finden wir [FORMEL]. Die Variation der gesammten Ober- fläche wird ausgedrückt durch [FORMEL] und die Normalverschiebungen müssen so gewählt werden, dass zugleich [FORMEL] d. h. die Summe der Räume, welche durch Hinaus- und Hineinschieben der Oberflächenelemente entstehen (die letztern negativ gerechnet) Null wird, dass also das Volum constant bleibt. Die Ausdrücke 1 und 2 können nur dann beide zu- gleich allgemein = o gesetzt werden, wenn [FORMEL] für alle Punkte der Oberfläche denselben Werth hat. Dies sehen wir leicht durch folgende Ueberlegung. Die Elemente dO der ursprünglichen Oberfläche stellen wir uns symbolisch durch die Elemente der Linie AX

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Zitationshilfe: Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883, S. 364. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/mach_mechanik_1883/376>, abgerufen am 18.02.2025.