Mach, Ernst: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Leipzig, 1883.

Die weitere Verwendung der Principien u. s. w.

Satz leicht zu prüfen. Wirken keine Kräfte, so bleibt
v constant und die Bewegungscurve wird eine Gerade,
für welche [∫]vds=v[∫]ds zweifellos kürzer wird als
für jede andere Curve zwischen denselben Endpunkten.
Auch ein Körper, der sich ohne Kräfte auf einer krummen
Fläche ohne Reibung bewegt, behält auf derselben seine
Geschwindigkeit bei, und beschreibt auf der Fläche eine
kürzeste Linie.

Betrachten wir die Bewegung eines geworfenen
Körpers in einer Parabel ABC, so ist auch für die-
selbe [∫]vds kleiner als für eine andere Nachbarcurve,
ja selbst als für die Gerade ADC zwischen denselben
Endpunkten. Die Geschwindigkeit hängt hier nur von
der verticalen Höhe ab, welche der Körper durch-
laufen hat, sie ist also für alle Curven in derselben
Höhe über OC dieselbe. Theilen wir durch ein System
von horizontalen Geraden die Curven
in entsprechende Elemente, so fallen
zwar für die obern Theile der Gera-
den AD die mit denselben v zu mul-
tiplicirenden Elemente kleiner aus
als für AB, für die untern Theile
DB, BC kehrt sich aber dieses Ver-
hältniss um, und da gerade hier die
grössern v ins Spiel kommen, so fällt
dennoch für ABC die Summe kleiner
aus.

[Abbildung] Fig. 189.

Legen wir den Anfangspunkt der Coordinaten nach
A, rechnen wir die Abscisse x vertical abwärts positiv,
und nennen y die zu derselben senkrechte Ordinate,
so ist
[Formel 1] zu einem Mini-
mum zu machen, wobei g die Beschleunigung der
Schwere und a die Falltiefe bedeutet, welche der An-