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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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ersetzt -- und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche den reellen Werthereihen von w und z entsprechen, welche befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zügen, welche die Curve im Sinne der analytischen Geometrie aufweist.

Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, , gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfährt unsere Fläche eine Umlegung der Winkel. Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe , beilegt, wie sie, unter der Benennung u, v, sein symmetrischer Punct aufweist, so wird eine neue complexe Function des Ortes sein. Man bilde nun:

so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von in unsymmetrischer Weise anzunehmen. Man hat also eine complexe Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist. -- Solcher mögen nun irgend zwei: W und Z, die überdiess eindeutige Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn man W und Z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe ersetzt. Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten, womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.

Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen üher die reellen eindeutigen Transformationen reeller Gleichungen in sich, oder, was dasselbe ist, über solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte wieder in symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des §. 19 nur für und auftreten; wir beschränken uns also auf diese Fälle. Nehmen wir zuvörderst . Dann sehen wir sofort, dass unter den früher aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen

ersetzt — und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche den reellen Werthereihen von w und z entsprechen, welche befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zügen, welche die Curve im Sinne der analytischen Geometrie aufweist.

Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, , gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfährt unsere Fläche eine Umlegung der Winkel. Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe , beilegt, wie sie, unter der Benennung u, v, sein symmetrischer Punct aufweist, so wird eine neue complexe Function des Ortes sein. Man bilde nun:

so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von in unsymmetrischer Weise anzunehmen. Man hat also eine complexe Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist. — Solcher mögen nun irgend zwei: W und Z, die überdiess eindeutige Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn man W und Z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe ersetzt. Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten, womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.

Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen üher die reellen eindeutigen Transformationen reeller Gleichungen in sich, oder, was dasselbe ist, über solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte wieder in symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des §. 19 nur für und auftreten; wir beschränken uns also auf diese Fälle. Nehmen wir zuvörderst . Dann sehen wir sofort, dass unter den früher aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen

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ersetzt &#x2014; und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche
 den <hi rendition="#i">reellen</hi> Werthereihen von <hi rendition="#i">w</hi> und <hi rendition="#i">z</hi> entsprechen, welche
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 welche die Curve <formula notation="TeX">f = 0</formula> im Sinne der analytischen Geometrie
 aufweist.</p>
          <p>Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine
 symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe
 Function des Ortes, <formula notation="TeX">u + iv</formula>, gegeben. Bei der symmetrischen
 Umformung erfährt unsere Fläche <hi rendition="#i">eine Umlegung der Winkel</hi>.
 Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe
 <formula notation="TeX">u_1</formula>, <formula notation="TeX">v_1</formula> beilegt, wie sie, unter der Benennung <hi rendition="#i">u</hi>, <hi rendition="#i">v</hi>, sein symmetrischer
 Punct aufweist, so wird <formula notation="TeX">u_1 - iv_1</formula> eine neue complexe
 Function des Ortes sein. Man bilde nun:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 U + iV = (u + u_1) + i(v - v_1),
 \]
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so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch
 verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte
 von <formula notation="TeX">u + iv</formula> in unsymmetrischer Weise anzunehmen. <hi rendition="#i">Man hat also eine complexe Function des Ortes,
 welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber
 entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist.</hi> &#x2014; Solcher
 <formula notation="TeX">U + iV</formula> mögen nun irgend zwei: <hi rendition="#i">W</hi> und <hi rendition="#i">Z</hi>, die überdiess <hi rendition="#i">eindeutige</hi> Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen
 werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung
 hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn
 man <hi rendition="#i">W</hi> und <hi rendition="#i">Z</hi> gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe
 ersetzt. <hi rendition="#i">Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten,</hi> womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.</p>
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 üher die <hi rendition="#i">reellen</hi> eindeutigen Transformationen <hi rendition="#i">reeller</hi> Gleichungen
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 solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen
 auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte wieder in
 symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können
 solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des
 §. 19 nur für <formula notation="TeX">p = 0</formula> und <formula notation="TeX">p = 1</formula> auftreten; wir beschränken
 uns also auf diese Fälle. Nehmen wir zuvörderst <formula notation="TeX">p = 1</formula>.
 Dann sehen wir sofort, dass unter den früher aufgestellten
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 \[
 W_1 = \pm W + C
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[75/0083] ersetzt — und dass die Uebergangscurven auf dieser Fläche den reellen Werthereihen von w und z entsprechen, welche [FORMEL] befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zügen, welche die Curve [FORMEL] im Sinne der analytischen Geometrie aufweist. Aber auch der Rückschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische Fläche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, [FORMEL], gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfährt unsere Fläche eine Umlegung der Winkel. Wenn man also jedem Puncte der Fläche solche Werthe [FORMEL], [FORMEL] beilegt, wie sie, unter der Benennung u, v, sein symmetrischer Punct aufweist, so wird [FORMEL] eine neue complexe Function des Ortes sein. Man bilde nun: [FORMEL] so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch verschwindet; es genügt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von [FORMEL] in unsymmetrischer Weise anzunehmen. Man hat also eine complexe Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle aber entgegengesetzt gleiche imaginäre Werthe aufweist. — Solcher [FORMEL] mögen nun irgend zwei: W und Z, die überdiess eindeutige Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft, ungeändert zu bleiben, wenn man W und Z gleichzeitig durch ihre conjugirten Werthe ersetzt. Sie ist also eine Gleichung mit reellen Coefficienten, womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist. Ich knüpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen üher die reellen eindeutigen Transformationen reeller Gleichungen [FORMEL] in sich, oder, was dasselbe ist, über solche conforme Abbildungen erster Art symmetrischer Flächen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte wieder in symmetrische Puncte übergehen. In unendlicher Zahl können solche Transformationen nach dem allgemeinen Satze des §. 19 nur für [FORMEL] und [FORMEL] auftreten; wir beschränken uns also auf diese Fälle. Nehmen wir zuvörderst [FORMEL]. Dann sehen wir sofort, dass unter den früher aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen [FORMEL]

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 75. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/83>, abgerufen am 28.02.2025.