Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
kann also von einem Differentialquotienten Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen, welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig. -- Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate geführt worden. Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die Abhängigkeit zwischen z und dem in hohem Maasse willkürlichen w definirt, so sind die übrigen Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von w und z, und mit den Integralen solcher Functionen. Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt
betrachteten Ringfläche
kann also von einem Differentialquotienten Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen, welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig. — Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate geführt worden. Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die Abhängigkeit zwischen z und dem in hohem Maasse willkürlichen w definirt, so sind die übrigen Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von w und z, und mit den Integralen solcher Functionen. Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt
betrachteten Ringfläche
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0066" n="58"/> kann also von einem <hi rendition="#i">Differentialquotienten</hi> <formula notation="TeX">\dfrac{dW}{dz}</formula> sprechen und diesen selbst wieder als complexe Function des Ortes auf unserer Fläche deuten. Derselbe ist nothwendig als Function des Ortes eindeutig. Denn die Vieldeutigkeit von <hi rendition="#i">W</hi> bezieht sich ja nur auf constante Periodicitätsmoduln, welche, in beliebiger Vielfachheit genommen, dem Anfangswerthe additiv hinzutreten können. Daher ist <formula notation="TeX">\dfrac{dW}{dz}</formula> nach dem eben Bewiesenen eine rationale Function von <hi rendition="#i">w</hi> und <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">und es stellt sich also <hi rendition="#i">W</hi> als Integral einer solchen Function dar:</hi><lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ W = \int R(w,\;z)\;dz. \] </formula></p> <p>Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen, welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig. —</p> <p>Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate geführt worden. <hi rendition="#i">Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die Abhängigkeit zwischen <hi rendition="#i">z</hi> und dem in hohem Maasse willkürlichen w definirt, so sind die übrigen Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von <hi rendition="#i">w</hi> und <hi rendition="#i">z</hi>, und mit den Integralen solcher Functionen.</hi></p> <p>Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt betrachteten Ringfläche <formula notation="TeX">p = 1</formula> zu erläutern. Als Functionen <hi rendition="#i">z</hi> und <hi rendition="#i">w</hi> werden wir dieselben zu Grunde legen, die im vorigen Paragraphen besprochen wurden, und von denen die erstere durch die Figuren (42), (43) erläutert wird. Die zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach, wie wir wissen:</p> <p><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ w^2 = 1 - z^2 \cdot 1 - \varkappa^2z^2 \] </formula><lb/> und es verwandeln sich also die Integrale <formula notation="TeX">\int R(w,\;z)\;dz</formula> in diejenigen, die man als <hi rendition="#i">elliptische Integrale</hi> zu bezeichnen pflegt. Unter ihnen gibt es, nach §. 12, ein einziges "überall endliches" Integral. Aus der in Figur (38) gegebenen Abbildung </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [58/0066]
kann also von einem Differentialquotienten [FORMEL] sprechen und diesen selbst wieder als complexe Function des Ortes auf unserer Fläche deuten. Derselbe ist nothwendig als Function des Ortes eindeutig. Denn die Vieldeutigkeit von W bezieht sich ja nur auf constante Periodicitätsmoduln, welche, in beliebiger Vielfachheit genommen, dem Anfangswerthe additiv hinzutreten können. Daher ist [FORMEL] nach dem eben Bewiesenen eine rationale Function von w und z, und es stellt sich also W als Integral einer solchen Function dar:
[FORMEL]
Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen, welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig. —
Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate geführt worden. Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die Abhängigkeit zwischen z und dem in hohem Maasse willkürlichen w definirt, so sind die übrigen Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von w und z, und mit den Integralen solcher Functionen.
Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt betrachteten Ringfläche [FORMEL] zu erläutern. Als Functionen z und w werden wir dieselben zu Grunde legen, die im vorigen Paragraphen besprochen wurden, und von denen die erstere durch die Figuren (42), (43) erläutert wird. Die zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach, wie wir wissen:
[FORMEL]
und es verwandeln sich also die Integrale [FORMEL] in diejenigen, die man als elliptische Integrale zu bezeichnen pflegt. Unter ihnen gibt es, nach §. 12, ein einziges "überall endliches" Integral. Aus der in Figur (38) gegebenen Abbildung
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 58. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/66>, abgerufen am 23.11.2024. |
