über der -Ebene und legen uns nun die Frage
vor, in welche Functionen des Argumentes die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen.
Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst w eine complexe Function des Ortes, welche auf
unserer Fläche, ebenso wie , eindeutig ist. Vermöge der
Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer
Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen
worden sind, ergibt sich sofort, dass w als Function
von nirgendwo einen wesentlich singulären Punct
hat. Ueberdiess ist w auf der m-blättrigen über der z-Ebene
ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen
Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze:
dass w eine algebraische Function von z ist.
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen,
dass die m Werthe von w, welche demselben z entsprechen,
zu je übereinstimmen mögen (wobei natürlich ein Theiler
von m sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige
Functionen w auswählen, bei denen dieses nicht der
Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen,
indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen.
Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen, dass nicht jedesmal
von ihnen dasselbe z aufweisen. Dann kommt:
Die irreducibele Gleichung, welche zwischen w und z besteht:
hat in w die Ordnung.
Ebensogut wird sie in z natürlich die Ordnung besitzen,
wenn n die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte
ist, die w aufweist.
Aber die Beziehung dieser Gleichung zu unserer
Fläche ist noch eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung
der Ordnung mit der Blätterzahl aussagt. Zu jedem Puncte
der Fläche gehört nur ein Werthepaar w, z, das der Gleichung
genügt, und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaare
Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig;
wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich
eingehaltene Darstellungsweise.
über der -Ebene und legen uns nun die Frage
vor, in welche Functionen des Argumentes die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen.
Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst w eine complexe Function des Ortes, welche auf
unserer Fläche, ebenso wie , eindeutig ist. Vermöge der
Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer
Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen
worden sind, ergibt sich sofort, dass w als Function
von nirgendwo einen wesentlich singulären Punct
hat. Ueberdiess ist w auf der m-blättrigen über der z-Ebene
ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen
Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze:
dass w eine algebraische Function von z ist.
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen,
dass die m Werthe von w, welche demselben z entsprechen,
zu je übereinstimmen mögen (wobei natürlich ein Theiler
von m sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige
Functionen w auswählen, bei denen dieses nicht der
Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen,
indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen.
Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen, dass nicht jedesmal
von ihnen dasselbe z aufweisen. Dann kommt:
Die irreducibele Gleichung, welche zwischen w und z besteht:
hat in w die Ordnung.
Ebensogut wird sie in z natürlich die Ordnung besitzen,
wenn n die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte
ist, die w aufweist.
Aber die Beziehung dieser Gleichung zu unserer
Fläche ist noch eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung
der Ordnung mit der Blätterzahl aussagt. Zu jedem Puncte
der Fläche gehört nur ein Werthepaar w, z, das der Gleichung
genügt, und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaare
Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig;
wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich
eingehaltene Darstellungsweise.
<TEI><text><body><divn="1"><div><p><pbfacs="#f0064"n="56"/>
über der <formulanotation="TeX">x + iy</formula>-Ebene<noteplace="foot"><p>Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig;
wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich
eingehaltene Darstellungsweise.</p></note>
und legen uns nun die Frage
vor, <hirendition="#i">in welche Functionen des Argumentes <formulanotation="TeX">x + iy</formula> die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen.</hi> Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.</p><p>Seizunächst <hirendition="#i">w</hi> eine complexe Function des Ortes, welche auf
unserer Fläche, ebenso wie <formulanotation="TeX">x + iy</formula>, <hirendition="#i">eindeutig</hi> ist. Vermöge der
Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer
Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen
worden sind, ergibt sich sofort, dass <hirendition="#i">w</hi> als Function
von <formulanotation="TeX">x + iy = z</formula> nirgendwo einen <hirendition="#i">wesentlich</hi> singulären Punct
hat. Ueberdiess ist <hirendition="#i">w</hi> auf der <hirendition="#i">m</hi>-blättrigen über der <hirendition="#i">z</hi>-Ebene
ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen
Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze: <hirendition="#i">dass <hirendition="#i">w</hi> eine algebraische Function von <hirendition="#i">z</hi> ist</hi>.</p><p>Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen,
dass die <hirendition="#i">m</hi> Werthe von <hirendition="#i">w</hi>, welche demselben <hirendition="#i">z</hi> entsprechen,
zu je <formulanotation="TeX">\nu</formula> übereinstimmen mögen (wobei <formulanotation="TeX">\nu</formula> natürlich ein Theiler
von <hirendition="#i">m</hi> sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige
Functionen <hirendition="#i">w</hi> auswählen, bei denen dieses nicht der
Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen,
indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen.
Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von <hirendition="#i">w</hi> so anzunehmen, dass nicht jedesmal
<formulanotation="TeX">\nu</formula> von ihnen dasselbe <hirendition="#i">z</hi> aufweisen. Dann kommt:</p><p><hirendition="#i">Die irreducibele Gleichung, welche zwischen <hirendition="#i">w</hi> und <hirendition="#i">z</hi> besteht:</hi></p><p><formularendition="#c"notation="TeX">
\[
f(w, z) = 0
\]
</formula><lb/><hirendition="#i">hat in <hirendition="#i">w</hi> die <formulanotation="TeX">m^\text{te}</formula> Ordnung.</hi></p><p>Ebensogut wird sie in <hirendition="#i">z</hi> natürlich die <formulanotation="TeX">n^{\text{te}}</formula> Ordnung besitzen,
wenn <hirendition="#i">n</hi> die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte
ist, die <hirendition="#i">w</hi> aufweist.</p><p>Aber die Beziehung dieser Gleichung <formulanotation="TeX">f = 0</formula> zu unserer
Fläche ist noch eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung
der Ordnung mit der Blätterzahl aussagt. Zu jedem Puncte
der Fläche gehört nur <hirendition="#i">ein</hi> Werthepaar <hirendition="#i">w</hi>, <hirendition="#i">z</hi>, das der Gleichung
genügt, und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaare
</p></div></div></body></text></TEI>
[56/0064]
über der [FORMEL]-Ebene und legen uns nun die Frage vor, in welche Functionen des Argumentes [FORMEL] die bisher untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen. Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst w eine complexe Function des Ortes, welche auf unserer Fläche, ebenso wie [FORMEL], eindeutig ist. Vermöge der Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen worden sind, ergibt sich sofort, dass w als Function von [FORMEL] nirgendwo einen wesentlich singulären Punct hat. Ueberdiess ist w auf der m-blättrigen über der z-Ebene ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze: dass w eine algebraische Function von z ist.
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen, dass die m Werthe von w, welche demselben z entsprechen, zu je [FORMEL] übereinstimmen mögen (wobei [FORMEL] natürlich ein Theiler von m sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige Functionen w auswählen, bei denen dieses nicht der Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen, indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen. Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die Unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen, dass nicht jedesmal [FORMEL] von ihnen dasselbe z aufweisen. Dann kommt:
Die irreducibele Gleichung, welche zwischen w und z besteht:
[FORMEL]
hat in w die [FORMEL] Ordnung.
Ebensogut wird sie in z natürlich die [FORMEL] Ordnung besitzen, wenn n die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte ist, die w aufweist.
Aber die Beziehung dieser Gleichung [FORMEL] zu unserer Fläche ist noch eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung der Ordnung mit der Blätterzahl aussagt. Zu jedem Puncte der Fläche gehört nur ein Werthepaar w, z, das der Gleichung genügt, und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaare
Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig; wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich eingehaltene Darstellungsweise.
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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 56. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/64>, abgerufen am 19.02.2025.
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