Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt. Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedem u, welches (2) genügt, eine andere Function v einführen kann, die zu u genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht. In der That, vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich:
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt. Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedem u, welches (2) genügt, eine andere Function v einführen kann, die zu u genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht. In der That, vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich:
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <p><pb facs="#f0026" n="18"/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \tag{1} ds^2 = E\;dp^2 + 2\;F\;dp\;dq + G\;dq^2, \] </formula> welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement auf der Fläche annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung, welche der in der Ebene üblichen durchaus analog verläuft, dass <hi rendition="#i">u</hi>, um eine stationäre Bewegung zu veranlassen, der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen muss:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \tag{2} \dfrac{\partial \dfrac{F \dfrac{\partial{u}} {\partial{q}}- G\dfrac{\partial{u}} {\partial{p}}} {\sqrt{EG - F^2}}} {\partial{p}} + \dfrac{\partial \dfrac{F \dfrac{\partial{u}} {\partial{p}}- E\dfrac{\partial{u}} {\partial{q}}} {\sqrt{EG - F^2}}} {\partial{q}} = 0. \] </formula></p> <p>An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt.</p> <p>Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedem <hi rendition="#i">u</hi>, welches (2) genügt, eine andere Function <hi rendition="#i">v</hi> einführen kann, <hi rendition="#i">die zu <hi rendition="#i">u</hi> genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht</hi>. In der That, vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich:</p> <p><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \tag{3} \left\{ \begin{aligned} \dfrac{\partial{v}}{\partial{p}} = \dfrac{F \dfrac{\partial{u}} {\partial{p}}- E\dfrac{\partial{u}} {\partial{q}}} {\sqrt{EG - F^2}}, \\[1em] \dfrac{\partial{v}}{\partial{q}} = \dfrac{G \dfrac{\partial{u}} {\partial{p}}- F\dfrac{\partial{u}} {\partial{q}}} {\sqrt{EG - F^2}}; \end{aligned} \right. \] </formula><lb/> sie definiren ein <hi rendition="#i">v</hi> bis auf eine nothwendig unbestimmt bleibende Constante. Aus ihnen aber folgt durch Auflösung:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \tag{4} \left\{ \begin{aligned} - \frac{\partial{u}}{\partial{p}} = \dfrac{F \dfrac{\partial{v}} {\partial{p}}- E\dfrac{\partial{v}} {\partial{q}}} {\sqrt{EG - F^2}}, \\[1em] - \dfrac{\partial{u}}{\partial{q}} = \dfrac{G \dfrac{\partial{v}} {\partial{p}}- F\dfrac{\partial{v}} {\partial{q}}} {\sqrt{EG - F^2}}; \end{aligned} \right. \] </formula><lb/> und hieraus:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \tag{5} \dfrac{\partial \dfrac{F \dfrac{\partial{v}} {\partial{q}}- G\dfrac{\partial{v}} {\partial{p}}} {\sqrt{EG - F^2}}} {\partial{p}} + \dfrac{\partial \dfrac{F \dfrac{\partial{v}} {\partial{p}}- E\dfrac{\partial{v}} {\partial{q}}} {\sqrt{EG - F^2}}} {\partial{q}} = 0. \] </formula><lb/> so dass einmal <hi rendition="#i">u</hi> sich zu <hi rendition="#i">v</hi> verhält, wie <hi rendition="#i">v</hi> zu <formula notation="TeX">-u</formula>, und andererseits <hi rendition="#i">v</hi>, so gut wie <hi rendition="#i">u</hi>, der partiellen Differentialgleichung </p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [18/0026]
[FORMEL] welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement auf der Fläche annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung, welche der in der Ebene üblichen durchaus analog verläuft, dass u, um eine stationäre Bewegung zu veranlassen, der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen muss:
[FORMEL]
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt.
Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedem u, welches (2) genügt, eine andere Function v einführen kann, die zu u genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht. In der That, vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich:
[FORMEL]
sie definiren ein v bis auf eine nothwendig unbestimmt bleibende Constante. Aus ihnen aber folgt durch Auflösung:
[FORMEL]
und hieraus:
[FORMEL]
so dass einmal u sich zu v verhält, wie v zu [FORMEL], und andererseits v, so gut wie u, der partiellen Differentialgleichung
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| Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 18. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/26>, abgerufen am 16.02.2025. |
