Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand.
Wenn r sehr klein ist, so kann Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle
die feste Richtung ![]() Figur 4. Die analoge Discussion liefert vom Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand.
Wenn r sehr klein ist, so kann Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle
die feste Richtung ![]() Figur 4. Die analoge Discussion liefert vom <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div> <pb facs="#f0016" n="8"/> <p>Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand. Wenn <hi rendition="#i">r</hi> sehr klein ist, so kann <formula notation="TeX">\dfrac{\varrho}{r}\cos{(\psi - \varphi)}</formula> durch geschickte Wahl von <formula notation="TeX">\varphi</formula> doch noch jeden beliebigen vorgegebenen Werth vorstellen. <hi rendition="#i">Die Function <hi rendition="#i">u</hi> nimmt also in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an</hi>. Zur näheren Orientirung denken wir uns einen Augenblick <hi rendition="#i">r</hi> und <formula notation="TeX">\varphi</formula> als unbegränzte Veränderliche, setzen also</p> <p> <formula rendition="#c" notation="TeX"> \[ \frac{\varrho}{r}\cos{(\psi - \varphi)} = \text{ Const.} \] </formula> </p> <p>Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle die feste Richtung <formula notation="TeX">\varphi = \psi + \frac{\pi}{2}</formula> berühren. Die Kreise sind um so kleiner, je grösser der absolute Betrag von Const. genommen wird. <hi rendition="#i">In ähnlicher Weise verlaufen daher die Curven <formula notation="TeX">u =</formula> Const. in der Nähe der Unstetigkeitsstelle. Insbesondere haben sie für sehr grosse positive oder negative Werthe von Const. die Gestalt kleiner, geschlossener, kreisähnlicher Ovale</hi>. — Für den imaginären Theil des Ausdrucks rechter Hand und also die Curven <formula notation="TeX">v =</formula> Const. gilt eine ähnliche Discussion. Der Unterschied ist nur der, dass jetzt die Richtung <formula notation="TeX">\varphi = \psi</formula> von allen Curven berührt wird. Hiernach wird die folgende Figur, in welcher die Niveaucurven wieder punctirt, die Strömungscurven ausgezogen sind, verständlich sein:</p> <figure rendition="#c" facs="http://media.dwds.de/dta/images/klein_riemann_1882/figures/image04.png"> <head>Figur 4.</head><lb/> </figure> <p>Die analoge Discussion liefert vom <formula notation="TeX">\nu</formula>-fachen algebraischen Unstetigkeitspuncte die erforderliche Anschauung. Ich will hier nur das Resultat anführen: <hi rendition="#i">Jede Curve <formula notation="TeX">u =</formula> Const. läuft <formula notation="TeX">\nu</formula>-mal durch den Unstetigkeitspunct hindurch, indem sie der Reihe nach <formula notation="TeX">\nu</formula> feste, gleich stark gegen einander geneigte Tangenten berührt. Analog die Curven <formula notation="TeX">v =</formula> Const. Für sehr grosse (positive oder negative) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in </hi></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [8/0016]
Betrachten wir zuvörderst den reellen Theil rechter Hand. Wenn r sehr klein ist, so kann [FORMEL] durch geschickte Wahl von [FORMEL] doch noch jeden beliebigen vorgegebenen Werth vorstellen. Die Function u nimmt also in unmittelbarer Nähe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an. Zur näheren Orientirung denken wir uns einen Augenblick r und [FORMEL] als unbegränzte Veränderliche, setzen also
[FORMEL]
Wir erhalten dann ein Büschel von Kreisen, welche alle die feste Richtung [FORMEL] berühren. Die Kreise sind um so kleiner, je grösser der absolute Betrag von Const. genommen wird. In ähnlicher Weise verlaufen daher die Curven [FORMEL] Const. in der Nähe der Unstetigkeitsstelle. Insbesondere haben sie für sehr grosse positive oder negative Werthe von Const. die Gestalt kleiner, geschlossener, kreisähnlicher Ovale. — Für den imaginären Theil des Ausdrucks rechter Hand und also die Curven [FORMEL] Const. gilt eine ähnliche Discussion. Der Unterschied ist nur der, dass jetzt die Richtung [FORMEL] von allen Curven berührt wird. Hiernach wird die folgende Figur, in welcher die Niveaucurven wieder punctirt, die Strömungscurven ausgezogen sind, verständlich sein:
[Abbildung Figur 4.
]
Die analoge Discussion liefert vom [FORMEL]-fachen algebraischen Unstetigkeitspuncte die erforderliche Anschauung. Ich will hier nur das Resultat anführen: Jede Curve [FORMEL] Const. läuft [FORMEL]-mal durch den Unstetigkeitspunct hindurch, indem sie der Reihe nach [FORMEL] feste, gleich stark gegen einander geneigte Tangenten berührt. Analog die Curven [FORMEL] Const. Für sehr grosse (positive oder negative) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in
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Zitationshilfe: | Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 8. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/16>, abgerufen am 29.07.2024. |