Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

betrachten, sich nicht in's Unendliche erstrecke. Es hat allerdings keinerlei principielle Schwierigkeit, den Punct $z = \infty$ ebenso in Betracht zu ziehen, wie irgend einen anderen Punct $z = z_{0}$. An Stelle der Reihenentwickelung nach Potenzen von $z - z_{0}$ hat dann in bekannter Weise eine solche nach Potenzen von $\dfrac1z$ zu treten. Man wird von einem $\alpha$-fachen Kreuzungspuncte bei $z = \infty$ sprechen, wenn diese Entwickelung hinter dem constanten Gliede sofort einen Term mit $\left(\dfrac1z\right)^{\alpha + 1}$ bringt. Aber es scheint überflüssig, die geometrischen Verhältnisse, welche diesen Vorkommnissen bei unserer Strömung entsprechen, ausführlicher zu schildern. Denn wir werden später Mittel und Wege kennen lernen, um die Sonderstellung des Werthes $z = \infty$, wie sie uns hier entgegentritt, ein für allemal zu beseitigen. Ebendesshalb wird der Punct $z = \infty$ in den nächstfolgenden Paragraphen (§. 2-4) bei Seite gelassen, trotzdem er auch dort, wenn man vollständig sein wollte, besonders in Betracht gezogen werden müsste.

§. 2. Berücksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).

Wir wollen nunmehr auch solche Puncte $z_{0}$ in unser Gebiet hereinnehmen, in denen $w = f(z)$ unendlich gross wird. Dabei schränken wir indess die unbegränzte Reihe der Möglichkeiten, welche in dieser Richtung vorliegt, mit Rücksicht auf die specielle von uns allein zu studierende Functionsclasse bedeutend ein. Wir wollen verlangen, dass der Differentialquotient $\dfrac{dw}{dz}$ keine wesentlich singuläre Stelle besitzen soll, oder, was dasselbe ist, wir wollen festsetzen, dass w nur so unendlich werden darf, wie ein Ausdruck der folgenden Form:

$A\log{(z - z_0)} + \frac{A_1} {z - z_0} + \frac{A_2} {(z - z_0)^2} + \dotsb \frac{A_\nu}{(z - z_0)^\nu},$
unter $\nu$ eine bestimmte endliche Zahl verstanden.

Entsprechend den verschiedenen Formen, die dieser Ausdruck darbietet, sagen wir, dass sich bei $z = z_0$ verschiedene Unstetigkeiten überlagern: ein logarithmischer Unendlichkeitspunct, ein algebraischer Unendlichkeitspunct von der Multiplicität Eins, u. s. f. Wir werden der Einfachheit halber hier