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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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tiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente
verstehe ich die Vereinigung eines Flächenelementes mit
einem in ihm enthaltenen Linienelemente; consecutive Con-
nexelemente heissen vereinigt gelegen, wenn nicht nur der
Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem
Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens
vorläufige) Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf
die von Clebsch neuerdings 1) in die Geometrie einge-
führten Gebilde, welche durch eine Gleichung dargestellt
werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct- eine Reihe
Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und
deren Analoga in der Ebene Clebsch als Connexe be-
zeichnet.

§. 10.
Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.

Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der
Anknüpfung der bisherigen Auseinandersetzungen an d
räumliche Vorstellung nur der Wunsch massgebend war,
die abstracten Begriffe durch Anlehnung an anschauliche
Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich
sind die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unab-
hängig und gehören dem allgemeinen Gebiete mathematischer
Forschung an, das man als die Lehre von den ausgedehn-
ten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann) kurz als
Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Ueber-
tragung des Vorhergehenden vom Raume auf den blossen
Mannigfaltigkeitsbegriff zu bewerkstelligen hat, ist ersicht-
lich. Es sei dabei nur noch einmal bemerkt, dass wir bei
der abstracten Untersuchung, der Geometrie gegenüber,
den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen,
welche wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wäh-
len zu können, während in der Geometrie eine kleinste
Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein gegeben war.

1) Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamental-
aufgabe der Invariantentheorie, sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872.
Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der
Ebene.

tiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente
verstehe ich die Vereinigung eines Flächenelementes mit
einem in ihm enthaltenen Linienelemente; consecutive Con-
nexelemente heissen vereinigt gelegen, wenn nicht nur der
Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem
Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens
vorläufige) Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf
die von Clebsch neuerdings 1) in die Geometrie einge-
führten Gebilde, welche durch eine Gleichung dargestellt
werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct- eine Reihe
Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und
deren Analoga in der Ebene Clebsch als Connexe be-
zeichnet.

§. 10.
Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten.

Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der
Anknüpfung der bisherigen Auseinandersetzungen an d
räumliche Vorstellung nur der Wunsch massgebend war,
die abstracten Begriffe durch Anlehnung an anschauliche
Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich
sind die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unab-
hängig und gehören dem allgemeinen Gebiete mathematischer
Forschung an, das man als die Lehre von den ausgedehn-
ten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann) kurz als
Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Ueber-
tragung des Vorhergehenden vom Raume auf den blossen
Mannigfaltigkeitsbegriff zu bewerkstelligen hat, ist ersicht-
lich. Es sei dabei nur noch einmal bemerkt, dass wir bei
der abstracten Untersuchung, der Geometrie gegenüber,
den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen,
welche wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wäh-
len zu können, während in der Geometrie eine kleinste
Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein gegeben war.

1) Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamental-
aufgabe der Invariantentheorie, sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872.
Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der
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[36/0044] tiver Connex-Elemente. Unter einem Connex-Elemente verstehe ich die Vereinigung eines Flächenelementes mit einem in ihm enthaltenen Linienelemente; consecutive Con- nexelemente heissen vereinigt gelegen, wenn nicht nur der Punct sondern auch das Linienelement des einen in dem Flächenelemente des anderen enthalten ist. Die (übrigens vorläufige) Bezeichnung: Connexelement bezieht sich auf die von Clebsch neuerdings 1) in die Geometrie einge- führten Gebilde, welche durch eine Gleichung dargestellt werden, die gleichzeitig eine Reihe Punct- eine Reihe Ebenen- und eine Reihe Liniencoordinaten enthalten, und deren Analoga in der Ebene Clebsch als Connexe be- zeichnet. §. 10. Ueber beliebig ausgedehnte Mannigfaltigkeiten. Es wurde bereits wiederholt hervorgehoben, wie bei der Anknüpfung der bisherigen Auseinandersetzungen an d räumliche Vorstellung nur der Wunsch massgebend war, die abstracten Begriffe durch Anlehnung an anschauliche Beispiele leichter entwickeln zu können. An und für sich sind die Betrachtungen von dem sinnlichen Bilde unab- hängig und gehören dem allgemeinen Gebiete mathematischer Forschung an, das man als die Lehre von den ausgedehn- ten Mannigfaltigkeiten, oder (nach Grassmann) kurz als Ausdehnungslehre bezeichnet. Wie man die Ueber- tragung des Vorhergehenden vom Raume auf den blossen Mannigfaltigkeitsbegriff zu bewerkstelligen hat, ist ersicht- lich. Es sei dabei nur noch einmal bemerkt, dass wir bei der abstracten Untersuchung, der Geometrie gegenüber, den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen, welche wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wäh- len zu können, während in der Geometrie eine kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein gegeben war. 1) Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamental- aufgabe der Invariantentheorie, sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872. Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der Ebene.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 36. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/44>, abgerufen am 22.12.2024.