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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Die Theorie der binären Formen findet ihre
Darstellung durch die Geometrie der reciproken
Radien in der reellen Ebene, so zwar, dass auch
die complexen Werthe der Variabeln repräsen-
tirt werden.

Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren
Vorstellungskreis der projectivischen Umformungen zu ge-
langen, zur Fläche zweiten Grades aufsteigen. Da wir nur
reelle Elemente der Ebene betrachteten, ist es nicht mehr
gleichgültig, wie man die Fläche wählt; sie ist ersichtlich
nicht geradlinig zu nehmen. Insbesondere können wir uns
dieselbe -- wie man das zur Interpretation einer complexen
Veränderlichen auch sonst thut -- als Kugelfläche denken
und erhalten so den Satz:

Die Theorie der binären Formen complexer
Variablen findet ihre Repräsentation in der pro-
jectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche.

Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note 1)
noch auseinanderzusetzen, wie schön dieses Bild die Theorie
der binären cubischen und biquadratischen Formen erläutert.

§. 7.
Erweiterungen des Vorangehenden. Lie's Kugelgeometrie.

An die Theorie der binären Formen, die Geometrie
der reciproken Radien und die Liniengeometrie, welche im
Vorstehenden coordinirt und nur durch die Zahl der Ver-
änderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse Er-
weiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden
mögen. Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Ge-
danken, dass die Gruppe, welche die Behandlungsweise ge-
gebener Gebiete bestimmt, beliebig erweitert werden kann,
an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist namentlieh
die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer
neueren Abhandlung niedergelegt hat 2), in ihrer Beziehung

1) Vergl. Note VII.
2) Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Anna-
len V.

Die Theorie der binären Formen findet ihre
Darstellung durch die Geometrie der reciproken
Radien in der reellen Ebene, so zwar, dass auch
die complexen Werthe der Variabeln repräsen-
tirt werden.

Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren
Vorstellungskreis der projectivischen Umformungen zu ge-
langen, zur Fläche zweiten Grades aufsteigen. Da wir nur
reelle Elemente der Ebene betrachteten, ist es nicht mehr
gleichgültig, wie man die Fläche wählt; sie ist ersichtlich
nicht geradlinig zu nehmen. Insbesondere können wir uns
dieselbe — wie man das zur Interpretation einer complexen
Veränderlichen auch sonst thut — als Kugelfläche denken
und erhalten so den Satz:

Die Theorie der binären Formen complexer
Variablen findet ihre Repräsentation in der pro-
jectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche.

Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note 1)
noch auseinanderzusetzen, wie schön dieses Bild die Theorie
der binären cubischen und biquadratischen Formen erläutert.

§. 7.
Erweiterungen des Vorangehenden. Lie’s Kugelgeometrie.

An die Theorie der binären Formen, die Geometrie
der reciproken Radien und die Liniengeometrie, welche im
Vorstehenden coordinirt und nur durch die Zahl der Ver-
änderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse Er-
weiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden
mögen. Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Ge-
danken, dass die Gruppe, welche die Behandlungsweise ge-
gebener Gebiete bestimmt, beliebig erweitert werden kann,
an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist namentlieh
die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer
neueren Abhandlung niedergelegt hat 2), in ihrer Beziehung

1) Vergl. Note VII.
2) Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Anna-
len V.
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[23/0031] Die Theorie der binären Formen findet ihre Darstellung durch die Geometrie der reciproken Radien in der reellen Ebene, so zwar, dass auch die complexen Werthe der Variabeln repräsen- tirt werden. Von der Ebene mögen wir, um in den gewohnteren Vorstellungskreis der projectivischen Umformungen zu ge- langen, zur Fläche zweiten Grades aufsteigen. Da wir nur reelle Elemente der Ebene betrachteten, ist es nicht mehr gleichgültig, wie man die Fläche wählt; sie ist ersichtlich nicht geradlinig zu nehmen. Insbesondere können wir uns dieselbe — wie man das zur Interpretation einer complexen Veränderlichen auch sonst thut — als Kugelfläche denken und erhalten so den Satz: Die Theorie der binären Formen complexer Variablen findet ihre Repräsentation in der pro- jectivischen Geometrie der reellen Kugelfläche. Ich habe mir nicht versagen mögen, in einer Note 1) noch auseinanderzusetzen, wie schön dieses Bild die Theorie der binären cubischen und biquadratischen Formen erläutert. §. 7. Erweiterungen des Vorangehenden. Lie’s Kugelgeometrie. An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken Radien und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt und nur durch die Zahl der Ver- änderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse Er- weiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden mögen. Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Ge- danken, dass die Gruppe, welche die Behandlungsweise ge- gebener Gebiete bestimmt, beliebig erweitert werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist namentlieh die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer neueren Abhandlung niedergelegt hat 2), in ihrer Beziehung 1) Vergl. Note VII. 2) Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Anna- len V.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 23. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/31>, abgerufen am 22.12.2024.