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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Ausdehnungen repräsentirt, so wichtig ist es, hinzuzufügen,
dass bei dieser Repräsentation entweder von
Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behand-
lung der Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen
ist, oder dass wir, wollen wir über die Gruppe
verfügen, unsere geometrische Auffassung ent-
sprechend auszubilden haben. -- Es könnte, ohne
diese Bemerkung, z. B. eine Repräsentation der Linien-
geometrie in der folgenden Weise gesucht werden. Die
Gerade erhält in der Liniengeometrie sechs Coordinaten;
eben so viele Coefficienten besitzt der Kegelschnitt in der
Ebene. Das Bild der Liniengeometrie würde also die Geo-
metrie in einem Kegelschnittsysteme sein, das aus der Ge-
sammtheit der Kegelschnitte durch eine quadratische Gleich-
ung zwischen den Coefficienten ausgesondert wird. Das
ist richtig, sowie wir als Gruppe der ebenen Geometrie die
Gesammtheit der Transformationen zu Grunde legen, die
durch lineare Umformungen der Kegelschnitts-Coefficien-
ten repräsentirt werden, welche die quadratische Beding-
ungsgleichung in sich überführen. Halten wir aber an der
elementaren bez. der projectivischen Auffassung der ebenen
Geometrie fest, so haben wir eben kein Bild.

Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Be-
griffsbildung. Sei im Raume irgend eine Gruppe, etwa
die Hauptgruppe gegeben. So wähle man ein einzelnes
räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder eine Gerade,
oder auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf dasselbe
alle Transformationen der Hauptgruppe an. Man erhält dann
eine mehrfach unendliche Mannigfaltigkeit mit einer An-
zahl von Dimensionen, die im Allgemeinen gleich der Zahl
der in der Gruppe enthaltenen willkürlichen Parameter ist,
die in besonderen Fällen herabsinkt, wenn nämlich das
ursprünglich gewählte Gebilde die Eigenschaft besitzt, durch
unendlich viele Transformationen der Gruppe in sich über-
geführt zu werden. Jede so erzeugte Mannigfaltigkeit
heisse mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein Körper. 1)

1) Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind,
der in der Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn
2 *

Ausdehnungen repräsentirt, so wichtig ist es, hinzuzufügen,
dass bei dieser Repräsentation entweder von
Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behand-
lung der Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen
ist, oder dass wir, wollen wir über die Gruppe
verfügen, unsere geometrische Auffassung ent-
sprechend auszubilden haben. — Es könnte, ohne
diese Bemerkung, z. B. eine Repräsentation der Linien-
geometrie in der folgenden Weise gesucht werden. Die
Gerade erhält in der Liniengeometrie sechs Coordinaten;
eben so viele Coëfficienten besitzt der Kegelschnitt in der
Ebene. Das Bild der Liniengeometrie würde also die Geo-
metrie in einem Kegelschnittsysteme sein, das aus der Ge-
sammtheit der Kegelschnitte durch eine quadratische Gleich-
ung zwischen den Coëfficienten ausgesondert wird. Das
ist richtig, sowie wir als Gruppe der ebenen Geometrie die
Gesammtheit der Transformationen zu Grunde legen, die
durch lineare Umformungen der Kegelschnitts-Coëfficien-
ten repräsentirt werden, welche die quadratische Beding-
ungsgleichung in sich überführen. Halten wir aber an der
elementaren bez. der projectivischen Auffassung der ebenen
Geometrie fest, so haben wir eben kein Bild.

Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Be-
griffsbildung. Sei im Raume irgend eine Gruppe, etwa
die Hauptgruppe gegeben. So wähle man ein einzelnes
räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder eine Gerade,
oder auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf dasselbe
alle Transformationen der Hauptgruppe an. Man erhält dann
eine mehrfach unendliche Mannigfaltigkeit mit einer An-
zahl von Dimensionen, die im Allgemeinen gleich der Zahl
der in der Gruppe enthaltenen willkürlichen Parameter ist,
die in besonderen Fällen herabsinkt, wenn nämlich das
ursprünglich gewählte Gebilde die Eigenschaft besitzt, durch
unendlich viele Transformationen der Gruppe in sich über-
geführt zu werden. Jede so erzeugte Mannigfaltigkeit
heisse mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein Körper. 1)

1) Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind,
der in der Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn
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[19/0027] Ausdehnungen repräsentirt, so wichtig ist es, hinzuzufügen, dass bei dieser Repräsentation entweder von Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behand- lung der Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen ist, oder dass wir, wollen wir über die Gruppe verfügen, unsere geometrische Auffassung ent- sprechend auszubilden haben. — Es könnte, ohne diese Bemerkung, z. B. eine Repräsentation der Linien- geometrie in der folgenden Weise gesucht werden. Die Gerade erhält in der Liniengeometrie sechs Coordinaten; eben so viele Coëfficienten besitzt der Kegelschnitt in der Ebene. Das Bild der Liniengeometrie würde also die Geo- metrie in einem Kegelschnittsysteme sein, das aus der Ge- sammtheit der Kegelschnitte durch eine quadratische Gleich- ung zwischen den Coëfficienten ausgesondert wird. Das ist richtig, sowie wir als Gruppe der ebenen Geometrie die Gesammtheit der Transformationen zu Grunde legen, die durch lineare Umformungen der Kegelschnitts-Coëfficien- ten repräsentirt werden, welche die quadratische Beding- ungsgleichung in sich überführen. Halten wir aber an der elementaren bez. der projectivischen Auffassung der ebenen Geometrie fest, so haben wir eben kein Bild. Die zweite Bemerkung bezieht sich auf folgende Be- griffsbildung. Sei im Raume irgend eine Gruppe, etwa die Hauptgruppe gegeben. So wähle man ein einzelnes räumliches Gebilde, etwa einen Punct, oder eine Gerade, oder auch ein Ellipsoid etc. aus und wende auf dasselbe alle Transformationen der Hauptgruppe an. Man erhält dann eine mehrfach unendliche Mannigfaltigkeit mit einer An- zahl von Dimensionen, die im Allgemeinen gleich der Zahl der in der Gruppe enthaltenen willkürlichen Parameter ist, die in besonderen Fällen herabsinkt, wenn nämlich das ursprünglich gewählte Gebilde die Eigenschaft besitzt, durch unendlich viele Transformationen der Gruppe in sich über- geführt zu werden. Jede so erzeugte Mannigfaltigkeit heisse mit Bezug auf die erzeugende Gruppe ein Körper. 1) 1) Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn 2 *

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 19. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/27>, abgerufen am 21.11.2024.