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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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gewöhnte, die ursprüngliche Figur mit allen aus ihr pro-
jectivisch ableitbaren als wesentlich identisch zu erachten
und die Eigenschaften, welche sich beim Projiciren über-
tragen, so auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von
der mit dem Projiciren verknüpften Aenderung in Evidenz
tritt. Hiermit war denn der Behandlung im Sinne von
§. 1 die Gruppe aller projectivischen Umformun-
gen zu Grunde gelegt und dadurch eben der Gegen-
satz zwischen projectivischer und gewöhnlicher
Geometrie geschaffen.

Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschil-
derte, kann bei jeder Art von räumlicher Transformation
als möglich gedacht werden; wir werden noch öfter darauf
zurückkommen. Er hat sich innerhalb der projectivischen
Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die
eine Weiterbildung der Auffassung geschah durch Auf-
nahme der dualistischen Umformungen in die Gruppe der
zu Grunde gelegten Aenderungen. Für den heutigen Stand-
punct sind zwei einander dualistisch entgegenstehende Fi-
guren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als we-
sentlich dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt
bestand in der Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe
collinearer und dualistischer Umformungen durch Auf-
nahme der bez. imaginären Transformationen. Dieser
Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der eigentlichen
Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert
habe -- ganz dem entsprechend, wie die Aufnahme der
dualistischen Umformungen in die zu Grunde gelegte Gruppe
die gleichzeitige Einführung von Punct und Ebene als
Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der Ort,
auf die Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Ele-
mente zu verweisen, durch welche allein der genaue An-
schluss der Raumlehre an das einmal gewählte Gebiet
algebraischer Operationen erreicht wird. Dagegen muss
betont werden, dass der Grund für die Einführung eben
in der Betrachtung algebraischer Operationen, nicht aber
in der Gruppe der projectivischen und dualistischen Um-
formungen liegt. So gut wir uns bei den letzteren auf

gewöhnte, die ursprüngliche Figur mit allen aus ihr pro-
jectivisch ableitbaren als wesentlich identisch zu erachten
und die Eigenschaften, welche sich beim Projiciren über-
tragen, so auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von
der mit dem Projiciren verknüpften Aenderung in Evidenz
tritt. Hiermit war denn der Behandlung im Sinne von
§. 1 die Gruppe aller projectivischen Umformun-
gen zu Grunde gelegt und dadurch eben der Gegen-
satz zwischen projectivischer und gewöhnlicher
Geometrie geschaffen.

Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschil-
derte, kann bei jeder Art von räumlicher Transformation
als möglich gedacht werden; wir werden noch öfter darauf
zurückkommen. Er hat sich innerhalb der projectivischen
Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die
eine Weiterbildung der Auffassung geschah durch Auf-
nahme der dualistischen Umformungen in die Gruppe der
zu Grunde gelegten Aenderungen. Für den heutigen Stand-
punct sind zwei einander dualistisch entgegenstehende Fi-
guren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als we-
sentlich dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt
bestand in der Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe
collinearer und dualistischer Umformungen durch Auf-
nahme der bez. imaginären Transformationen. Dieser
Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der eigentlichen
Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert
habe — ganz dem entsprechend, wie die Aufnahme der
dualistischen Umformungen in die zu Grunde gelegte Gruppe
die gleichzeitige Einführung von Punct und Ebene als
Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der Ort,
auf die Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Ele-
mente zu verweisen, durch welche allein der genaue An-
schluss der Raumlehre an das einmal gewählte Gebiet
algebraischer Operationen erreicht wird. Dagegen muss
betont werden, dass der Grund für die Einführung eben
in der Betrachtung algebraischer Operationen, nicht aber
in der Gruppe der projectivischen und dualistischen Um-
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[11/0019] gewöhnte, die ursprüngliche Figur mit allen aus ihr pro- jectivisch ableitbaren als wesentlich identisch zu erachten und die Eigenschaften, welche sich beim Projiciren über- tragen, so auszusprechen, dass ihre Unabhängigkeit von der mit dem Projiciren verknüpften Aenderung in Evidenz tritt. Hiermit war denn der Behandlung im Sinne von §. 1 die Gruppe aller projectivischen Umformun- gen zu Grunde gelegt und dadurch eben der Gegen- satz zwischen projectivischer und gewöhnlicher Geometrie geschaffen. Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschil- derte, kann bei jeder Art von räumlicher Transformation als möglich gedacht werden; wir werden noch öfter darauf zurückkommen. Er hat sich innerhalb der projectivischen Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die eine Weiterbildung der Auffassung geschah durch Auf- nahme der dualistischen Umformungen in die Gruppe der zu Grunde gelegten Aenderungen. Für den heutigen Stand- punct sind zwei einander dualistisch entgegenstehende Fi- guren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als we- sentlich dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt bestand in der Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe collinearer und dualistischer Umformungen durch Auf- nahme der bez. imaginären Transformationen. Dieser Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der eigentlichen Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert habe — ganz dem entsprechend, wie die Aufnahme der dualistischen Umformungen in die zu Grunde gelegte Gruppe die gleichzeitige Einführung von Punct und Ebene als Raumelement nach sich zieht. Es ist hier nicht der Ort, auf die Zweckmässigkeit der Einführung imaginärer Ele- mente zu verweisen, durch welche allein der genaue An- schluss der Raumlehre an das einmal gewählte Gebiet algebraischer Operationen erreicht wird. Dagegen muss betont werden, dass der Grund für die Einführung eben in der Betrachtung algebraischer Operationen, nicht aber in der Gruppe der projectivischen und dualistischen Um- formungen liegt. So gut wir uns bei den letzteren auf

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 11. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/19>, abgerufen am 09.11.2024.