Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.
mathematische Probleme.
[Formel 1]
d. h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichenx, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung (1*) [Formel 2] Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un- mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung: [Formel 3] [Formel 4] [Formel 5] Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat mathematische Probleme.
[Formel 1]
d. h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichenx, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung (1*) [Formel 2] Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un- mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung: [Formel 3] [Formel 4] [Formel 5] Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0049" n="293"/><fw place="top" type="header">mathematische Probleme.</fw><lb/><formula/> d. h. wir erhalten für die Funktion <hi rendition="#i">p</hi> der beiden Veränderlichen<lb/><hi rendition="#i">x, y</hi> die partielle Differentialgleichung erster Ordnung<lb/> (1*) <formula/><lb/> Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und<lb/> die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu<lb/> einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un-<lb/> mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:<lb/><formula/> <formula/> <formula/></p> <p>Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn<lb/> wir uns irgend eine <hi rendition="#g">einfache</hi> Schaar von Integralcurven der<lb/> gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen<lb/> und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung<lb/> (2) <hi rendition="#i">y<hi rendition="#sub">x</hi> = p (x, y)</hi><lb/> bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so<lb/> ist stets die Funktion <hi rendition="#i">p (x, y)</hi> ein Integral der partiellen Diffe-<lb/> rentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn <hi rendition="#i">p (x, y)</hi><lb/> irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster<lb/> Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären In-<lb/> tegrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2)<lb/> zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1);<lb/> oder kurz ausgedrückt: wenn <hi rendition="#i">y<hi rendition="#sub">x</hi> = p (x, y)</hi> eine Integralgleichung<lb/> erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist,<lb/> so stellt <hi rendition="#i">p (x, y)</hi> ein Integral der partiellen Differentialgleichung<lb/> (1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen<lb/> Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die<lb/> Charakteristiken der partiellen <choice><sic>Differentialgleichnng</sic><corr>Differentialgleichung</corr></choice> erster Ord-<lb/> nung (1*).</p><lb/> <p>In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat<lb/> auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns näm-<lb/> lich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [293/0049]
mathematische Probleme.
[FORMEL] d. h. wir erhalten für die Funktion p der beiden Veränderlichen
x, y die partielle Differentialgleichung erster Ordnung
(1*) [FORMEL]
Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und
die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu
einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns un-
mittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:
[FORMEL] [FORMEL] [FORMEL]
Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn
wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der
gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen
und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
(2) yx = p (x, y)
bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so
ist stets die Funktion p (x, y) ein Integral der partiellen Diffe-
rentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn p (x, y)
irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster
Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären In-
tegrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2)
zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1);
oder kurz ausgedrückt: wenn yx = p (x, y) eine Integralgleichung
erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist,
so stellt p (x, y) ein Integral der partiellen Differentialgleichung
(1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen
Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die
Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung erster Ord-
nung (1*).
In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat
auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns näm-
lich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in
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