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Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900.

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D. Hilbert,

Den am Anfange meines Vortrags gemachten allgemeinen Be-
merkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Be-
gründung hinzu.

Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung
besteht bekanntlich darin, eine Funktion y der Veränderlichen x
derart zu finden, daß das bestimmte Integral
[Formel 1] einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten,
die das Integral annimmt, wenn wir statt y andere Funktionen
von x mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in
das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten
Variation im üblichen Sinne
[Formel 2] liefert für die gesuchte Funktion y die bekannte Differentialglei-
chung zweiter Ordnung
(1) [Formel 3]
Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien
für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, be-
trachten wir das Integral
[Formel 4] [Formel 5] und fragen, wie darin p als Funktion von x, y zu
nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals J* von
dem Integrationswege d. h. von der Wahl der Funk-
tion y der Variabeln x unabhängig wird. Das Integral
J* hat die Form
[Formel 6] wo A und B nicht yx enthalten, und das Verschwinden der ersten
Variation
[Formel 7] in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die
Gleichung

D. Hilbert,

Den am Anfange meines Vortrags gemachten allgemeinen Be-
merkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Be-
gründung hinzu.

Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung
besteht bekanntlich darin, eine Funktion y der Veränderlichen x
derart zu finden, daß das bestimmte Integral
[Formel 1] einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten,
die das Integral annimmt, wenn wir statt y andere Funktionen
von x mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in
das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten
Variation im üblichen Sinne
[Formel 2] liefert für die gesuchte Funktion y die bekannte Differentialglei-
chung zweiter Ordnung
(1) [Formel 3]
Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien
für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, be-
trachten wir das Integral
[Formel 4] [Formel 5] und fragen, wie darin p als Funktion von x, y zu
nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals J* von
dem Integrationswege d. h. von der Wahl der Funk-
tion y der Variabeln x unabhängig wird. Das Integral
J* hat die Form
[Formel 6] wo A und B nicht yx enthalten, und das Verschwinden der ersten
Variation
[Formel 7] in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die
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[292/0048] D. Hilbert, Den am Anfange meines Vortrags gemachten allgemeinen Be- merkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Be- gründung hinzu. Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung besteht bekanntlich darin, eine Funktion y der Veränderlichen x derart zu finden, daß das bestimmte Integral [FORMEL] einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten, die das Integral annimmt, wenn wir statt y andere Funktionen von x mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten Variation im üblichen Sinne [FORMEL] liefert für die gesuchte Funktion y die bekannte Differentialglei- chung zweiter Ordnung (1) [FORMEL] Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, be- trachten wir das Integral [FORMEL] [FORMEL] und fragen, wie darin p als Funktion von x, y zu nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals J* von dem Integrationswege d. h. von der Wahl der Funk- tion y der Variabeln x unabhängig wird. Das Integral J* hat die Form [FORMEL] wo A und B nicht yx enthalten, und das Verschwinden der ersten Variation [FORMEL] in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

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Zitationshilfe: Hilbert, David: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. Göttingen, 1900, S. 292. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/hilbert_mathematische_1900/48>, abgerufen am 02.03.2025.