Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Potential 1 giebt ^*),
$M=\frac{R}{K_\epsilon}$,
worin K_ε das ganze elliptische Integral erster Gattung für den Modul ε be-
zeichnet. Es wird also nach (30^a.) für Hohlräume mit einer elliptischen
Oeffnung
$n^2 = \frac{a^2R}{4\pi KS}$,
oder wenn man den Flächeninhalt s der elliptischen Oeffnung einführt und setzt:
$\epsilon_1 = \sqrt{1-\epsilon^2}$,
$s = \pi R^2\epsilon_1$,
so wird
$n = \sqrt{\frac{\pi}{2K\sqrt{\epsilon_1}}}\cdot\frac{a\sqrt[4]{s}}{\sqrt[4]{\pi^5}\sqrt{2S}}$.
Der Werth von n² ist also von dem für eine kreisförmige Oeffnung gültigen
durch den Factor $\frac{\pi}{2K\sqrt{\epsilon_1}}$ verschieden, und da dieser Factor gröſser ist als 1,
so wird der Ton einer elliptischen Oeffnung von gleicher Fläche etwas höher
als der einer kreisförmigen.

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Hat der Hohlraum noch eine zweite Oeffnung, die ebenfalls in einem
nahehin ebenen Theile der Wand liegt, so setze man für den äuſseren vor
ihr liegenden Raum
$\Psi = \int h_1\frac{\cos(kr - 2\pi nt + \tau)}{r}d\omega$,
in dem ihr benachbarten Theile des inneren Raumes
$\Psi = \left[ C_1 - \int\frac{h_1\cos kr}{r}d\omega\right]\cos(2\pi nt - \tau) + k\int h_1d\omega . \sin(2\pi nt - \tau)$.
Es sind wie vorher an der Oeffnung die Werthe von $\frac{d\overline{\Psi}}{dn}$ übereinstimmend,
die Werthe von $\overline{\Psi}$ werden:
$\overline{\Psi} = \int\frac{h_1d\omega}{r}\cdot \cos(2\pi nt - \tau) + k\int h_1d\omega\sin(2\pi nt - \tau)$,
$\overline{\Psi} = \left[ C_1-\int\frac{h_1d\omega}{r}\right]\cos(2\pi nt - \tau) + k\int h_1d\omega\sin(2\pi nt - \tau)$.
Es muſs also sein:
$C_1 = 2\int\frac{h_1d\omega}{dr}$,

*) S. Clausius in Poggendorffs Annalen LXXXVI S. 161.