Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Es muſs also die Gröſse h für die einzelnen Punkte der Oeffnung so bestimmt
werden, daſs ihre Potentialfunction innerhalb der Oeffnung constant wird. Die
Bedingung endlich, daſs $\frac{d\Psi}{dn} = 0$ ist längs der Oberfläche von S mit Ausnahme
der Mündung, wird durch die Gleichung (29^c.) erfüllt, wenn die Wand, in der
die Oeffnung sich befindet, so weit merklich eben ist, als das Potential von h
nicht gegen C verschwindet.

Endlich wird für diesen Fall die Gleichung (28^c.)
(29^h.) $2\pi\int hd\omega = k^2CS$.
Aus (29^f.) und (29^h.) folgt
(29ⁱ.) $J = -\frac{k^3CS}{2\pi}$
Nennen wir nun M die Masse, welche nöthig ist, um, auf der Fläche der
Oeffnung passend vertheilt, in dieser die Potentialfunction constant gleich 1
zu machen, so ist
(29^k.) $\int hd\omega = \tfrac{1}{2}(C-H)M$,
da die Dichtigkeit h nach (29^g.) den Potentialwerth ½ (C — H) hervorbringt.
Wir haben also nach (29^f.)
(29^l.) $J + \tfrac{1}{2}k(C-H)M = 0$.
Das Maximum des Potentials der stehenden Wellen im freien Raume ist $\sqrt{H^2+J^2}$,
das Maximum in dem Hohlkörper S ist C. Aus (29ⁱ.) und (29^l.) folgt
$\frac{H^2+J^2}{C^2} = \left(1-\frac{k^2S}{\pi M}\right)^2+\left(\frac{k^3S}{2\pi}\right)^2$.
Dieses Verhältniſs erreicht seinen Minimalwerth, die Resonanz wird also am
stärksten, wenn das erste der beiden Quadrate, gegen welches im Allgemeinen
das zweite verschwindend klein ist, gleich Null wird. Die Bedingung für das
Maximum der Resonanz ist also:
(30.) $\pi M = k^2S$,
oder wenn wir statt k seinen Werth setzen durch die Schwingungszahl n und
die Schallgeschwindigkeit a ausgedrückt
(3^a.) $k = \frac{2\pi n}{a}$,