Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

mit Hülfe der Tafeln von Legendre berechnen kann, ist:
$0 = \frac{4\chi_\prime}{\pi\chi^2}(K-E)-\sqrt{\frac{2\chi_\prime}{1+\chi_\prime}}+\chi_\prime\sin\theta\left\{\frac{8\chi_\prime}{\pi\chi^2}(K-E)+6+\frac{1-\chi_\prime}{\sqrt{2\chi_\prime(1+\chi_\prime)}}\right\}$
$-\chi_\prime\sin^2\theta\left\{\frac{2\chi_\prime}{\pi\chi^2}(K-E)-\frac{4E}{\pi}-\frac{1}{4\sqrt{2\chi_\prime(1+\chi_\prime)}}\right\}$.
Aus den zusammengehörigen Werthen von κ͵ und ϑ lassen sich endlich x
und ϱ berechnen, deren Werthe in diesem Falle sind:
$\frac{\rho-R}{R} = \frac{2\chi_\prime\sin\theta}{1+\chi_\prime\sin\theta}$,
$\frac{x}{R} = -\frac{2\chi_\prime\cos\theta}{\chi(1-\chi_\prime\sin\theta)}$.
In der folgenden Tabelle bedeutet demnach $\frac{\rho - R}{R}$ den Abstand zwischen der
Wand unserer Pfeifenform und der des Cylinders, ausgedrückt in Theilen des
Radius, und ebenso $\frac{x}{R}$ den Abstand der betreffenden Stelle von der Oeffnung,
ausgedrückt in Theilen des Radius.

[Tabelle]

In gröſserer Entfernung von der Scheibe findet man
$\frac{\rho-R}{R} = \tfrac{1}{32}\left(\frac{2R-x}{2R+x}\right)^2$.