Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

(27.) $\rho\chi_{\prime\prime} = \int_0^\rho\frac{d\overline{P_l}}{dx}\rho d\rho = \frac{BR}{\pi}(1-\mu)$.
Um μ in den bei den elliptischen Integralen gebrauchten Hülfsgröſsen auszu-
drücken, dient, wenn ϑ für ϱ > R negativ genommen wird, die Gleichung
$\mu = \sqrt{\frac{2\chi_\prime(1+\sin\theta)}{(1+\chi_\prime)(1+\chi_\prime\sin\theta)}}$.
Somit haben wir denn in den Gleichungen (25^b.), (26.) und (27.) die Werthe
von χ₀, χ͵ und χ͵͵, und die Gleichung der Strömungscurven wird:
$\rho(\chi_0+\chi_\prime+\chi_{\prime\prime}) = \operatorname{Const.}$
Soll die Strömungscurve der Röhrenwand entsprechen, so muſs sie durch den
Rand der Oeffnung gehen, und die Constante ist:
$\operatorname{Const.} = \int_0^R\frac{d\Psi'}{dx}\rho d\rho = \tfrac{1}{2}AR^2_1$;
folglich wird die Gleichung der Röhrenwand
(27^b.) $\rho(\chi_0 + \chi_\prime + \chi_{\prime\prime}) = \tfrac{1}{2}AR^2_1$.
Um die Röhrenform zu erhalten, für welche die Differenz zwischen der wahren
und reducirten Länge verschwindet, müssen wir $B = 0$, $R = R_1\sqrt{2}$ setzen,
dann verschwindet auch χ͵͵, und die Gleichung der Röhrenwand reducirt sich auf
$\rho\chi_\prime = \tfrac{1}{2}A(R^2_1-\rho^2)$.
Es giebt dies eine Röhre mit trompetenförmigem, schwach erweitertem Ende.
Die Krümmung der Wand ist überall nach innen convex, und ihr Krümmungs-
halbmesser, der vom cylindrischen Theile an gegen die Mündung allmälig ab-
nimmt, wird am Rande der Oeffnung zuletzt unendlich klein.

Macht man den Radius der Oeffnung gleich dem der Röhre, so nähert
sich die Form der Röhre am meisten einem reinen Cylinder. Es wird dann
die Differenz zwischen der reducirten und wahren Länge der Röhre, wie
schon oben bemerkt, gleich ¼πR. Da in diesem Falle die Gröſse
$\chi^2_\prime\sin^2\theta = \frac{(R-\rho)^2}{(R+\rho)^2}$
immer sehr klein bleibt, und also auch sin ϑ für alle nicht zu kleinen Werthe
von κ͵ sehr klein bleibt, kann man zur Berechnung der Röhrenform von κ = 0
bis κ = sin 89⁰ die höheren Potenzen als die erste von κ͵ sin ϑ und als die
zweite von sin ϑ vernachlässigen. Die so vereinfachte Gleichung für die
Röhrenwand, aus der man sin ϑ für eine Reihe von Werthen von κ͵ leicht