Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

so ist
(25^b.) $\chi_0 = \tfrac{1}{2}A\rho$.
Um die Berechnung von χ͵ abzukürzen, bemerke ich Folgendes. Es sei W
eine Potentialfunction, die auf Seite der negativen x der Differentialgleichung
genügt:
$\frac{d^2W}{dx^2}+\frac{d^2W}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{dW}{d\rho} = 0$,
und ferner sei
(25^c.) $P_i = \frac{dW}{dx}$,
so ist
(25^d.) $\rho\chi_\prime = \int_0^\rho\frac{d^2W}{dx^2}\rho d\rho = -\int_0^\rho\frac{d}{d\rho}\left(\rho\frac{dW}{d\rho}\right)d\rho = -\rho\frac{dW}{d\rho}$.
Nun ist P_i die Potentialfunction einer Masse, die mit der constanten Dichtigkeit
$-\frac{A}{4\pi}$ auf einer Kreisscheibe vom Radius R ausgebreitet ist. Die Gleichung
(25^c.) erfüllen wir, wenn wir W zur Potentialfunction eines soliden Cylinders
machen, dessen Basis die kreisförmige Röhrenmündung ist, und der von x = 0
bis x = + ∞ reicht und mit Masse von der constanten Dichtigkeit $-\frac{A}{4\pi}$ ge-
füllt ist. Man braucht sich nur den Cylinder um ein unendlich kleines Stück
in der Richtung der positiven x verschoben zu denken und die neue Dichtigkeit
so wie die neue Potentialfunction von der früheren abzuziehen, so erhält man
das angegebene Resultat. Die Gleichung (25^d.) kann man aber schreiben,
weil y = ϱ cos ω:
(25^e.) $\chi_\prime\cos\omega = -\frac{dW}{d\rho}\cos\omega = -\frac{dW}{dy}$.
Es ist aber $-\frac{dW}{dy}$ die Potentialfunction der Oberfläche des Cylinders, die
mit Masse von der Dichtigkeit $-\frac{A}{4\pi}\cos\omega$ bedeckt ist, wie sich wieder leicht
ergiebt, wenn man den Cylinder in Richtung der negativen y unendlich wenig
verschoben denkt. Also läſst sich χ͵ unmittelbar finden:
(26.) $\chi_\prime = -\frac{A}{4\pi}\int_0^\infty da\int_0^{2\pi}\frac{R\cos\omega d\omega}{\sqrt{(x-a)^2+(\rho-R\cos\omega)^2+R^2\sin^2\omega}}$.
Der Werth mit Hülfe elliptischer Integrale ausgedrückt ist folgender:
(26^a.) $\chi_\prime = \frac{AR}{\pi}\left\{\frac{\chi_\prime\cos\theta}{\chi^2\sqrt{1-\chi^2_\prime\sin^2\theta}}(K-E)-\frac{\chi_\prime\sin\theta}{1-\chi^2_\prime\sin^2\theta}[\tfrac{1}{2}\pi + (K-E)F'_\theta-KE'_\theta]\right\}-c$,

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