Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

worin unter dem Integralzeichen x einen constanten Werth behält. Daraus
folgt zunächst:
(24^a.) $\frac{d}{d\rho}(\rho\chi) = \rho\frac{d\Psi_i}{dx}$,
$\frac{d}{dx}(\rho\chi) = \int_0^\rho\frac{d^2\Psi_i}{dx^2}\rho d\rho$.
Da wir nun für unseren jetzt vorliegenden Zweck uns erlauben durften in
den Functionen Φ, P_i und P_l (s. (22.) und (20^a.)), aus denen Ψ_i zusammen-
gesetzt ist, k = 0 zu setzen, so reducirt sich die Gleichung (18^e.) in der
Nähe der Mündung auf
$\frac{d^2\Psi_i}{dx^2} = -\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}-\frac{1}{\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho}$,
und wir erhalten also
$\frac{d}{dx}(\chi\rho) = -\int_0^\rho\left(\rho\frac{d^2\Psi_i}{d\rho^2}+\frac{d\Psi_i}{d\rho}\right)d\rho$,
(24^b.) $\frac{d}{dx}(\chi\rho) = -\rho\frac{d\Psi_i}{d\rho}$;
aus (24^a.) und (24^b.) folgt, daſs die Function χ der Bedingung genügt:
(22^a.) $\frac{d(\chi\rho)}{d\rho}\frac{d\Psi_i}{d\rho} + \frac{d(\chi\rho)}{dx}\frac{d\Psi_i}{dx} = 0$,
und daſs in einer durch die x - Axe gelegten Ebene die Curven
ϱχ = Const.
orthogonal sind zu den Curven
Ψ_i = Const.,
erstere also Stromescurven sind.

Wenn wir in die Gleichung (24.) für Ψ_i setzen:
(21^d.) $\Psi_i = \Phi + P_i - P_l$,
so können wir auch χ ähnlich zerfällen
(25.) $\chi = \chi_0 + \chi_\prime - \chi_{\prime\prime}$,

(25^a.) $\rho\chi_0 = \int_0^\rho\frac{d\Phi}{dx}\rho d\rho$,
$\rho\chi_\prime = \int_0^\rho\frac{dP_i}{dx}\rho d\rho$,
$\rho\chi_{\prime\prime} = \int_0^\rho\frac{dP_l}{dx}\rho d\rho$.

Da sich Φ hier reducirt auf
$\Phi = Ax + B$,