Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

groſs wie (R — ϱ)^{— ⅓} werden müſste, und daher die Reihe für $\frac{d\Phi}{dx}$ für den
Werth ϱ = R und x = 0 überhaupt nicht convergiren kann.

Wir fügen deshalb zu Φ noch eine andere Function hinzu, die in
gröſserer Entfernung von der Oeffnung verschwindet, also auch nur in der
Nähe der Oeffnung Einfluſs auf die Gestalt der Röhre ausübt, aber die Con-
tinuität an der Oeffnung herstellt.

Bezeichnen wir der Einfachheit wegen die Potentialfunction einer auf
der Kreisfläche der Oeffnung mit der Dichtigkeit h verbreiteten Masse mit
P_h, also
(20.) $P_h = \int h\frac{\cos kr}{r}d\omega$,
dieses Integral über die ganze Fläche der Oeffnung genommen. Wenn die
Distanz des Punktes, für welchen wir P_h bestimmen, von der Oeffnung klein
ist, so ist cos kr = 1 und
(20^a.) $P_h = \int\frac{hd\omega}{r}$.
Setzen wir ferner
(21.) $h = i + l$,
(21^a.) $i = -\frac{1}{4\pi}\frac{d\overline{\Phi}}{dx}$,
und bestimmen wir l so, daſs in der Fläche der Oeffnung
(21^b.) $\overline{P_l} = \tfrac{1}{2}\overline{\Phi}$,
was sich immer ausführen läſst, weil die Vertheilung einer Masse auf einer
Kreisscheibe, die an der Oberfläche dieser Scheibe eine Potentialfunction von
gegebener Gröſse giebt, nach bekannten Methoden gefunden werden kann.
Setzen wir ferner auf Seite der positiven x, wie schon oben geschehen,
(21^c.) $\Psi' = P_h = P_i + P_l$
in der Röhre, also für negative x
(21^d.) $\Psi_i = \Phi + P_i - P_l$,
so genügen die Functionen Ψ' und Ψ_i allen für sie gestellten Bedingungen.
Daſs nämlich Ψ' im freien Raume und Ψ_i im Innern der Röhre der Bedin-
gung genügen:
(18^a.) $\nabla\Psi + k^2\Psi = 0$,
ist aus der Bildungsweise dieser Functionen klar. Daſs Ψ_i für groſse Werthe