Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

auch negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen, und die Coefficienten der-
selben so zu bestimmen, daſs die Grenzbedingungen an dem geschlossenen
Ende erfüllt werden. Da übrigens der kleinste Werth von mR₁, der die Be-
dingung $\frac{dU}{d\rho}$ für ϱ = R₁ erfüllt, 3,83171, der zweite 7,01751 ist, während
die folgenden sich allmälig der Gröſse (a + ¼) π nähern, so nehmen alle diese
Exponentialfunctionen schnell ab, wenn man sich von dem Ende der Röhre
entfernt, an welchem sie einen merklichen Werth haben, und so oft die Länge
der Röhre beträchtlich groſs gegen den Durchmesser ist, werden sie in der
Mitte oder am anderen Ende derselben zu vernachlässigen sein. Es wird also
im Allgemeinen genügen, daſs wir uns auf die Glieder beschränken, für welche
die Wurzel im Exponenten ein positives Vorzeichen hat. Da übrigens mR₁
nach dem Gesagten eine endliche, kR₁ aber eine verschwindend kleine Zahl
ist, so können wir in dem Exponenten k² gegen m² vernachlässigen und setzen
(19^b.) $\Phi = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx + \sum\left\{E_me^{mx}U_{(m_\rho)}\right\}$.
Diese Function erfüllt also allerdings die Forderung der Gleichungen (18^a.)
und (18^b.), welche wir oben für die Function Ψ_i aufgestellt haben, sie wird
aber im Allgemeinen nicht der dritten Bedingung (18^c.) entsprechen, daſs,
wenn wir setzen:
$\frac{d\overline{\Phi}}{dx} = \frac{d\overline{\Psi'}}{dx}$,
auch sei:
$\overline{\Phi} = \overline{\Psi'} = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos kr}{r}d\omega$,
oder, da innerhalb der Oeffnung kr unendlich klein ist, kann man diese Be-
dingung auch darauf reduciren, daſs sein müſste:
$\overline{\Phi} = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Phi}}{dx}\frac{d\omega}{r}$.
Wäre diese letztere Bedingung durch besondere Annahmen über die Gröſse
der Coefficienten erfüllt, so würde die Gestalt der Röhre einfach cylindrisch
sein. Ich habe aber keine Methode finden können, um die Coefficienten dieser
Bedingung gemäſs zu bestimmen und somit die Aufgabe für ganz cylindrische
Röhren streng zu lösen. Auch läſst sich einsehen, daſs die Convergenz der
Reihe für Φ in Gleichung (19.) für diesen Fall eine sehr langsame sein
würde, da die Geschwindigkeit der Lufttheilchen $\frac{d\Phi}{dx}$ am Rande der Oeffnung,
die durch eine scharfe rechtwinklige Kante begrenzt sein würde, unendlich