Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

gemeinen nicht so zu Werke gehen, daſs wir eine bestimmte Röhrenform
annehmen und dazu die Potentiale der Bewegung suchen, sondern wir müssen
umgekehrt von der Potentialfunction ausgehen und die dazu gehörige Röhrenform
bestimmen, was sich in jedem Falle ausführen läſst. Nur müssen wir eben
solche Formen der Potentialfunction suchen, welche Röhren geben, die in
kleiner Entfernung von der Mündung in Cylinder übergehen.

Dem Bewegungspotentiale der Luft haben wir die Form gegeben:
$\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)$.
Für die tieferen Theile der Röhre haben wir in (12^g.) gefunden:
(12^k.) $\Psi'' = -\frac{AkQ}{2\pi}\cos kx$.
Im freien Raume ist aber, wenn wir $\frac{d\overline{\Psi''}}{dx} = 0$ setzen, welches, wie wir
oben schon gefunden haben, mit k verschwindet, nach (11^d.)
$\Psi'' = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}d\omega$,
welches innerhalb der Mündung, wo wir kr͵ verschwinden lassen dürfen, wird
(12^l.) $\overline{\Psi''} = -\frac{k}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}d\omega = -\frac{AkQ}{2\pi}$.
Sowohl (12^k.) wie (12^l.) giebt innerhalb der Mündung den gleichen Werth
von $\overline{\Psi''}$ und den Werth Null für $\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}$. Sie gehen also an der Mündung der
Röhre continuirlich in einander über. Längs der festen Wände des Luft-
raumes geben beide $\frac{d\overline{\Psi''}}{dn} = 0$, nur an dem nicht cylindrischen Theile der
Röhrenwand wird dieser Differentialquotient nicht genau Null aber verschwin-
dend klein. Es ist also Ψ″ unter dieser Annahme eine continuirliche Function,
die den Bedingungen der Aufgabe Genüge leistet, und kann unmittelbar be-
rechnet werden, nachdem Ψ' gefunden ist.

Die Function Ψ' hat im freien Raume die Form:

(18.) $\Psi' = \int h\frac{\cos kr}{r}d\omega$,
wo $h = -\frac{1}{2\pi}\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}$.

Im Innern der Röhre werden wir ihr eine andere analytische Form Ψ_i geben
müssen, welche die Eigenschaft haben muſs:
1) im Innern der Röhre die Bedingung zu erfüllen:
(18^a.) $\nabla\Psi_i+k^2\Psi_i = 0$,

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