Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Das Geschwindigkeitspotential in den ferneren Theilen des freien Raumes ist
$\Psi = M\frac{\cos(k\rho-2\pi nt)}{\rho}$,
wo
(12^b.) $M = -\frac{AQ}{2\pi}$.
Es läſst sich also A und M aus G und l bestimmen. A, das Schwingungs-
maximum in der Röhre, und ebenso M, die Intensität der Kugelwellen im
freien Raume, wird bei constantem G, also bei constanter Bewegung der
Schluſsplatte der Röhre, am gröſsten, wenn der Factor von A in (15.) am
kleinsten ist, d. h. wenn
$\cos k(l + \alpha) = 0$, $k(l + \alpha) = (\mathfrak{a} + \tfrac{1}{2})\pi$.
Dann ist
$A = \frac{2\pi}{k^2Q\cos k\alpha}G = \frac{\lambda^2}{2\pi Q\cos k\alpha}G$,
$M = -\frac{\lambda^2}{\cos k\alpha}G$,
$\tau = (-1)^\mathfrak{a}\tfrac{1}{2}\pi$.
Die stärkste Resonanz der Röhre und der stärkste Schall im freien
Raume findet also statt, wenn die Bewegung der Luft am Orte einer
Knotenfläche mitgetheilt wird. Die Stärke der Schallwellen wird dabei
sehr groſs, aber keinesweges unendlich. Denn damit der im Nenner der
Werthe von A und M stehende cos kα Null werde, müſste die Fläche der
Oeffnung gleich Null werden. Dabei zeigt sich zugleich, daſs die Resonanz
sowohl in der Röhre als auch im freien Raume desto mächtiger wird, je
enger die Oeffnung der Röhre ist. Wenn wie gewöhnlich kα klein ist, kann
cos kα = 1 gesetzt werden. Dann ist die Wirkung im freien Raume un-
abhängig von der Form der Röhre. Die Vibrationen der Schwingungs-
maxima in der Röhre und der um ganze Wellenlängen von der Oeffnung
entfernten Wellen im freien Raume unterscheiden sich dabei von denen
der mitgetheilten Bewegung um eine Viertel-Undulation.

Das Minimum der Resonanz tritt ein, wenn der Factor von A im
Werthe von G in (15.) sein Maximum erreicht, d. h. wenn
$\cos k(l + \alpha) = 1$, $k(l + \alpha) = \mathfrak{a}\pi$;
dann wird mit Weglassung kleiner Gröſsen
$G\cos k\alpha = A$, $\tau = \mathfrak{a}\pi$, $M = \frac{QG\cos k\alpha}{2\pi}$.