Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

wo — (x — α) = (a + ½) λ. Wenn nun t wächst, so bleibt, weil k²Q eine
verschwindend kleine Gröſse ist, doch immer noch tang kx unmerklich wenig
verschieden von tang kα, also die Lage der Maxima und Minima unverändert,
so lange tang (2π nt) endliche Werthe hat. Wenn aber t sich dem Werthe
einer Viertel-Schwingungsdauer nähert, wird auch tang kx gleichzeitig mit
tang (2π nt) erst + ∞, dann — ∞, dann aber, so wie tang (2π nt) endliche
negative Werthe erreicht hat, wird tang kx wieder gleich tang kα, und so
bleibt es wieder während beinahe einer halben Schwingungsdauer stationär,
so lange tang (2π nt) endlich bleibt. So oft nun tang kx vom Werthe tang kα
auf + ∞ wächst, dann von — ∞ durch die negativen Werthe bis 0 und wie-
der auf tang kα übergeht, muſs kx um π wachsen und x selbst um ½λ. So
wird also ein Maximum, welches zur Zeit t = 0 da liegt, wo die reducirte
Länge aλ beträgt, um die Zeit $t = \frac{1}{4n}$ schnell übergehen auf die reducirte
Länge (a — ½) λ, hier beinahe stillstehen bis $t = \frac{3}{4n}$, dann schnell fortschrei-
ten auf (a — 1) λ u. s. w.

Im freien Raume dagegen bewegen sich die Maxima der Geschwindig-
keit mit der gleichmäſsigen Fortpflanzungsgeschwindigkeit a vorwärts. In
den entfernteren Theilen des freien Raumes liegen sie zur Zeit t = 0, wo
ϱ = (b + ¼) λ. Der Abstand zweier Maxima der Geschwindigkeit, von denen
eines im freien Raume in der x-Axe, das andere in der Röhre gelegen ist,
zur Zeit t = 0 ist (a + b + ¼) λ — α. Da bis zur Zeit $t = \frac{1}{4n}$ das Maximum in
der Röhre fast ganz still steht, das im freien Raume um ¼λ fortschreitet, so
wächst die Entfernung beider Maxima bis auf nahehin (a + b + ½) λ — α, geht
dann ziemlich schnell zurück auf (a + b) λ — α, um während der nächsten halben
Schwingungsdauer wieder auf (a + b + ½) λ — α zu steigen, und bewegt sich
so immer zwischen den genannten Grenzen.

Mit der Verdichtung verhält es sich ähnlich. Ihre Maximalwerthe wer-
den gegeben durch die Gleichung:
(14^c.) $\operatorname{cotang}kx = -\operatorname{tang}k\alpha + k^2Q\operatorname{cotg}(2\pi nt)$.
Zur Zeit $t = \frac{1}{4n}$ ist cotg(2π nt) = 0, und die Maxima der Verdichtung lie-
gen, wo die reducirte Länge der Röhre (a — ¼) λ beträgt. Diese Lage be-
halten sie auch unverändert bis nahehin $t = \frac{2}{4n}$, wo cotg(2π nt) unendlich
groſs wird. Dann rücken sie schnell vorwärts bis (a — ¾) λ. In den entfern-