Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

zählt und nennen diese Entfernungen die reducirten Längen des betreffenden
Röhrenstücks, so erhalten wir Maxima der Schwingung überall, wo die re-
ducirte Länge gleich einem geraden Vielfachen der Viertelwellenlänge
und Minima der Schwingung (Knotenflächen), wo die reducirte Länge der
Röhre einem ungeraden Vielfachen der Viertelwellenlänge gleich ist. In
den Knotenflächen herrscht aber nicht absolute Ruhe, sondern die Bewegung
wird nur sehr klein.

Am Orte der Maxima der Schwingung wird tang τ, gleich einer unendlich
kleinen Gröſse, also τ = aπ, am Orte der Minima wird tang τ = ∞, also
τ = (a + ½)π, folglich sind die Phasen der Bewegung am Orte der Maxima
und Minima um eine Viertelschwingungsdauer verschieden.

Nach Gleichung (1^f.) ist die Verdichtung der Luft, wo keine äuſseren
Kräfte wirken,
$\mathfrak{h} = -\frac{1}{a^2}\frac{d\Psi}{dt}$,
also in unserem Falle:
(14.) $\mathfrak{h} = \frac{A}{a\cos k\alpha}\sin k(x-\alpha)\sin(2\pi nt)+\frac{Ak^2Q}{2\pi a}\cos kx\cos(2\pi nt)$
oder:

(14^a.) $\mathfrak{h} = L\sin(2\pi nt + \tau_\prime)$,
wenn
$L = \frac{A}{a}\sqrt{\frac{\sin^2k(x-\alpha)}{\cos^2k\alpha}+\frac{k^4Q^2\cos^2kx}{4\pi^2}$,
$\operatorname{tang}\tau_\prime = \frac{k^2Q\cos kx\cos k\alpha}{2\pi\sin k(x-\alpha)}$.

Die Bedingungsgleichung, welche die Werthe von x giebt, für welche L² ein
Maximum oder Minimum wird, ist dieselbe wie (13^b.), welche oben für die
Grenzwerthe von J² aufgestellt ist, aber wo letzteres ein Maximum ist, wird
L² ein Minimum, und umgekehrt. Wo L ein Maximum, wird tang τ͵ = 0 (oder
vielmehr gleich einer verschwindend kleinen Gröſse), also:
$\mathfrak{h} = \pm\frac{A}{a\cos k\alpha}\sin(2\pi nt)$, $\frac{d\Psi}{dx} = \pm\frac{Ak^2Q\cos k\alpha}{2\pi}\sin(2\pi nt)$,
wo L² ein Minimum ist, wird tang τ͵ = ∞,
$\mathfrak{h} = \pm\frac{Ak^2Q\cos k\alpha}{2\pi a}\cos(2\pi nt)$, $\frac{d\Psi}{dx} = \pm \frac{A}{\cos k\alpha}\cos(2\pi nt)$.
An diesen Stellen also fällt das Maximum der Verdichtung mit dem Maximum
der Geschwindigkeit in der Zeit zusammen, nicht aber an den zwischenliegen-