Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

wo die Integration über alle Werthe von z und y auszudehnen ist, welche
der Oeffnung und Wand der Röhre angehören, und das + Zeichen sowohl
an der Oeffnung als an denjenigen Theilen der Wand zu nehmen ist, deren
Normale mit den negativen x einen spitzen Winkel bildet, das — Zeichen
an den Theilen, deren Normale mit den positiven x einen spitzen Winkel
bildet. QB ist also gleich den Werthen von Ψ' in der Nähe der Oeffnung
integrirt über eine Fläche von der Gröſse Q, also ist B von der Gröſsen-
ordnung $\overline{\Psi'}$ oder $\frac{AQ}{\epsilon}$. Wenn also der Querschnitt der Röhre von derselben
Ordnung kleiner Gröſsen wie die Oeffnung, d. h. von der Ordnung ε² ist, ist
B von der Ordnung Aε. Genauer läſst sich bei der Allgemeinheit unserer
Annahmen das Verhältniſs $\frac{B}{A}$ nicht bestimmen. Wir werden später bei den
Beispielen sehen, daſs es von der Form der Mündung abhängt, von welcher
wir das Verhältniſs $\frac{\mathfrak{B}}{A}$ unabhängig gefunden haben, und daſs es nicht merklich
von dem Werthe von k abhängt, so lange der Querschnitt der Röhre und
die Länge des nicht cylindrischen Theiles als verschwindend gegen die Wellen-
länge zu betrachten sind. Ist übrigens die Oeffnung der Röhre sehr klein gegen
den Querschnitt, so kann $\frac{B}{A}$ jeden beliebigen gröſseren Werth erreichen.

---

Innerhalb der tieferen Theile der Röhre ist also, wenn wir setzen
(12^f.) $\frac{kB}{A} = -\operatorname{tang}k\alpha$,
(12^g.) $\Psi = \frac{A}{k\cos k\alpha}\sin k(x-\alpha)\cos(2\pi nt)-\frac{AkQ}{2\pi}\cos kx\sin(2\pi nt)$,
und dazu gehört die Bewegung in den entfernten Stellen des freien Raumes,
indem wir M₁ gegen M vernachlässigen,
(12^h.) $\Psi = -\frac{AQ}{2\pi}\frac{\cos(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}$,
in welchen beiden Gleichungen A eine willkührliche Constante ist, und α für
jede besondere Röhrenform besonders bestimmt werden muſs.

Die Natur des hier behandelten Problems wird noch klarer, wenn man
auf den Grenzfall übergeht, wo k = 0 wird. Dann werden die beiden Functio-
nen Ψ' und Ψ″ von einander unabhängig, und es entstehen aus unserem
Problem folgende zwei Aufgaben: