Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

wo

(11^f.) $M = -\frac{1}{2\pi}\int\int\left(\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\cos k\epsilon + \frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\sin k\epsilon\right)dy dz$,
$M = -\frac{1}{2\pi}\int\int\left(\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\cos k\epsilon - \frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\sin k\epsilon\right)dy dz$,

$\epsilon = y\sin\omega\cos\theta + z\sin\omega\sin\theta$,
und wo die Integrationen über die Oeffnung der Röhre auszudehnen sind.

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Eine dritte Anwendung des erweiterten Greenschen Satzes machen
wir auf den Raum, welcher zwischen einem Querschnitte der Röhre in der
Region der ebenen Wellen und einer halben Kugelfläche in der Region der
kugeligen Wellen liegt. Für die Functionen Ψ und Φ der Gleichung (7.)
setzen wir Ψ' und Ψ″ und haben wie in (7^b.)
(7^b.) $\int\Psi'\frac{d\Psi''}{dn} d\omega - \int\Psi''\frac{d\Psi'}{dn}d\omega = 0$.
Da längs der ganzen festen Wand des Raumes $\frac{d\Psi'}{dn} = \frac{d\Psi''}{dn} = 0$, so ist die
Integration nur über den Querschnitt der Röhre und die Halbkugel auszu-
dehnen. Im Querschnitt ist:
$\Psi' = \frac{A}{k}\sin kx + B\cos kx$,
$\Psi'' = \mathfrak{B}\cos kx$,
$\Psi'\frac{d\Psi''}{dx} - \Psi''\frac{d\Psi'}{dx} = -A\mathfrak{B}$.
An der Kugelfläche ist:
$\Psi' = M\frac{\cos k\rho}{\rho} + M_1\frac{\sin k\rho}{\rho}$,
$\Psi'' = M\frac{\sin k\rho}{\rho} - M_1\frac{\cos k\rho}{\rho}$,
$-\Psi'\frac{d\Psi''}{d\rho} + \Psi''\frac{d\Psi'}{d\rho} = - \frac{k(M^2 + M_1^2)}{\rho^2}$.
Wenn man die Integrale nimmt, wird:
(11^g.) $0 = A\mathfrak{B}Q + k\int_0^{\tfrac{1}{2}\pi}d\omega\int_0^{2\pi}d\theta(M^2 + M_1^2)\sin\omega$.

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