Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Φ aber bekommt den Werth
$\overline{\Phi} = \frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}$,
weil an der yz-Ebene r͵ = r͵͵ ist. So erhalten wir die Gleichung
(11^c.) $\mathfrak{C} - \int\frac{d\overline{\Psi}}{dx}\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}d\omega = 2\pi\cos(2\pi nt)\Psi_a$.

Setzen wir nun nach Gleichung (10^b.)
(10^b.) $\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)$,
so können wir in der Gleichung (11^c.), welche für alle Werthe von t erfüllt
sein muſs, die Quadrate und Producte von cos(2π nt) und sin (2π nt) durch
cos(4π nt) und sin (4π nt) ausdrücken und dann einzeln gleich Null setzen:
1) die Glieder, welche nach der Zeit constant sind, 2) die Glieder, welche
mit cos(4π nt) multiplicirt sind und 3) die mit sin (4π nt) multiplicirten, und
erhalten dadurch folgende drei Gleichungen:

(11^d.) $\mathfrak{C} = \pi\Psi'_\alpha + \tfrac{1}{2}\int\left(\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos kr_\prime}{r_\prime} + \frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}\right)$,
$0 = \pi\Psi'_\alpha + \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos kr_\prime}{r_\prime}d\omega - \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}d\omega$,
$0 = \pi\Psi''_\alpha + \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\sin kr_\prime}{r_\prime}d\omega + \tfrac{1}{2}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\cos kr_\prime}{r_\prime}d\omega$.

Die Integrationen sind über die Oeffnung der Röhre auszudehnen. Durch
die beiden letzten Gleichungen ist der Werth der Functionen Ψ' und Ψ″ für
alle Punkte des Raumes auf Seite der positiven x gegeben, wenn die Werthe
von $\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}$ und $\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}$ in der Oeffnung der Röhre bekannt sind. Die erste Glei-
chung folgt aus den beiden anderen mittelst des Theorems (7^d.). Der Werth
von Ψ_α wird demnach:
(11^e.) $\Psi_\alpha = -\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi'}}{dx}\frac{\cos(kr_\prime-2\pi nt)}{r_\prime}d\omega + \frac{1}{2\pi}\int\frac{d\overline{\Psi''}}{dx}\frac{\sin(kr_\prime - 2\pi nt)}{r_\prime}d\omega$.

Wenn wir statt der rechtwinkligen Coordinaten Polarcoordinaten ein-
führen, nämlich
α = ϱ cos ω, β = ϱ sin ω cos ϑ, γ = ϱ sin ω sin ϑ,
so wird in unendlich groſser Entfernung ϱ vom Anfangspunkte der Coordinaten
mittelst einer ähnlichen Umformung, wie sie in (8^a.) ausgeführt ist,
(10^a.) $\Psi = M\frac{\cos(k\rho - 2\pi nt}{\rho}-M_1\frac{\sin(k\rho - 2\pi nt)}{\rho}$,