Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

einzeln gleich sein:
$\Psi'_b - \Phi'_a = 0$,
$\Psi''_b - \Phi''_a = 0$,
$\int\mathfrak{A}\mathfrak{B}\sin(\delta - c)d\omega = 0$,
also auch
(9^a.) $\Psi_b = \Psi'_b\cos(2\pi nt) + \Psi''_b\sin(2\pi nt) = \Phi'_a\cos(2\pi nt) + \Phi''_a\sin(2\pi nt) = \Phi_a$.

Daraus geht der wichtige Satz hervor: Wenn in einem mit Luft gefüllten
Raume, der theils von endlich ausgedehnten festen Körpern begrenzt theils
unbegrenzt ist, im Punkte a Schallwellen erregt werden, so ist das Ge-
schwindigkeitspotential derselben in einem zweiten Punkte b ebenso groſs,
als es in a sein würde, wenn nicht in a, sondern in b Wellen von der-
selben Intensität erregt würden. Auch ist der Unterschied der Phasen
des erregenden und erregten Punktes in beiden Fällen gleich.

Aus der nach der Gleichung (8^b.) gemachten Bemerkung geht hervor,
daſs dasselbe noch gilt, wenn der Raum von einer unendlichen Ebene theil-
weise begrenzt ist. Ist Φ das Geschwindigkeitspotential von Schallwellen,
die eine gröſsere Zahl von Erregungspunkten b₁, b₂ etc. b_m haben, also von
der Form
$\Phi = \Phi_1 + \Phi_2 + \cdots + \Phi_m$,
wo Φ_m das Potential der in b_m erregten Schallwellen ist, so wird
(9^b.) $\sum[\Psi_{b_m}] = \sum[\Phi_{m,a}]$.

In dem Falle, wo die durch Ψ dargestellte Schallbewegung nicht da-
von herrührt, daſs ein tönender Punkt a sich im freien Raume befindet, sondern
daſs an irgend einem Oberflächenelemente der Begrenzung des Luftraumes, das
wir mit da bezeichnen wollen, $\frac{d\Psi}{dn}$ nicht Null, sondern
$\frac{d\Psi_a}{dn} = B\cos2\pi nt$
ist, so wird aus der Gleichung (9.)
(9^c.) $4\pi A\Psi_b = -B\Phi_ada$.

Dieser Satz kann dazu dienen, um in solchen Fällen, wo man die
Schallbewegung der Luft vollständig nur für gewisse besondere Lagen des
schallerregenden Punktes bestimmen kann, doch wenigstens für alle anderen
Lagen eines oder beliebig vieler schallerregender Punkte die Erregung in