Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

von derselben Form wie in Gleichung (8^b.) sei. Auſserdem möge an der Ober-
fläche der festen Körper die Gleichung $\frac{d\Psi}{dn} = 0$ stattfinden. Es sei ferner Φ
das Geschwindigkeitspotential einer Schallbewegung, die im Punkte b erregt wor-
den ist, so daſs in unendlich kleiner Entfernung von b Φ unendlich wird, wie
$\Phi = A\frac{\cos kr_b}{r_b}\cos(2\pi nt)$,
in unendlicher Entfernung ϱ dagegen
$\Phi = \mathfrak{B}\frac{\cos[k\rho - 2\pi nt + \delta]}{\rho}$
sei, wo B und d nach verschiedenen Richtungen vom Anfangspunkte der Coor-
dinaten aus verschiedene Werthe haben; übrigens muſs Φ wie Ψ überall
sonst endlich sein, und an der Oberfläche der festen Körper $\frac{d\Psi}{dn} = 0$.

Wir wenden nun die Gleichung (7.) auf einen Raum S an, der durch
eine mit dem unendlich groſsen Radius ϱ um den Anfangspunkt der Coordinaten
beschriebene Kugelschaale umschlossen ist, von welchem wir nur ausschlieſsen
alle die Theile, welche durch die festen Körper eingenommen sind. Für die
Integration an den Punkten a und b, wo Ψ und Φ unendlich groſs werden,
findet dieselbe Betrachtung wie bei Gleichung (7^c.) statt. Wir erhalten
(9.) $\int\Psi\frac{d\Psi}{dn}d\omega - \int\Phi\frac{d\Psi}{dn}d\omega = 4\pi A[\Psi_b\cos(2\pi nt) - \Phi_a\cos2\pi nt]$,
wo Ψ_b den Werth von Ψ im Punkte b, und Φ_a den von Φ im Punkte a
bezeichnet. Die Integration nach dω ist sowohl über die Oberflächen der vor-
handenen festen Körper auszudehnen, an denen aber $\frac{d\Phi}{dn} = \frac{d\Psi}{dn} = 0$, so daſs
diese Theile wegfallen, als auch über die Oberfläche der Kugel. Hier wird nun
$\Psi\frac{d\Phi}{dn} - \Phi\frac{d\Psi}{dn} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}k\sin(\delta - c)$.

Wenn wir nun bedenken, daſs Ψ und Φ von der Form sein müssen:
$\Psi = \Psi'\cos(2\pi nt) + \Psi''\sin(2\pi nt)$,
$\Phi = \Phi'\cos(2\pi nt) + \Phi''\sin(2\pi nt)$,
wo Ψ', Φ', Ψ″ und Φ″ von der Zeit unabhängige Gröſsen sind, so wird
$\Psi_b\cos(2\pi nt)-\Phi_a\cos(2\pi nt)$
$= \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] + \tfrac{1}{2}[\Psi'_b - \Phi'_a] \cos(4\pi nt) + \tfrac{1}{2}[\Psi''_b - \Phi''_a]\sin(4\pi nt)$.

Da nun die Gleichung (9.) für jeden Werth von t erfüllt sein muſs, so muſs