Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wendet man die Gleichung (7^d.) auf theilweis zusammenstoſsende
Räume S͵ und S͵͵ an, indem man die Elemente ihrer nicht gemeinsamen
Oberfläche mit dω͵ und dω͵͵, die des gemeinsamen Stückes ihrer Oberfläche
mit dω₀ bezeichnet, unter n͵ die nach dem Inneren von S͵, unter n͵͵ die
nach dem Inneren von S͵͵ gerichteten Normalen dieser Flächenelemente ver-
steht, so hat man,
wenn innerhalb S͵ $\nabla\Psi_\prime + k^2\Psi_\prime$,
und innerhalb S͵͵ $\nabla\Psi_{\prime\prime} + k^2\Psi_{\prime\prime}$
der Punkt α, β, γ, von dem die Entfernungen r gerechnet werden, aber
innerhalb S͵ liegt, und wir unter dem Integralzeichen [dω͵ + dω₀] schreiben,
wo die Integration über sämmtliche Elemente dω͵ und sämmtliche dω₀ aus-
gedehnt werden soll,
$4\pi\Psi_{\prime\alpha} = \int\Psi_\prime\frac{d}{dn_\prime}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)[d\omega_\prime + d\omega_0] - \int\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime}\frac{\cos kr}{r}[d\omega_\prime + d\omega_0]$,
$0 = \int\Psi_{\prime\prime}\frac{d}{dn_{\prime\prime}}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)[d\omega_{\prime\prime} + d\omega_0] - \int\frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}\frac{\cos kr}{r}[d\omega_{\prime\prime} + d\omega_0]$.

Wenn nun an der gemeinsamen Trennungsfläche beider Räume
$\Psi_\prime = \Psi_{\prime\prime}$, $\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime} = \frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_\prime} = - \frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}$
ist, so giebt die Addition beider Gleichungen, da dn͵ = — dn͵͵,
$4\pi\Psi_{\prime\alpha} = \int\Psi_\prime\frac{d}{dn_\prime}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega_\prime - \int\frac{d\Psi_\prime}{dn_\prime}\frac{\cos kr}{r}d\omega_\prime + \Psi_{\prime\prime}\frac{d}{dn_{\prime\prime}}\left(\frac{\cos kr}{r}\right)d\omega_{\prime\prime} - \int\frac{d\Psi_{\prime\prime}}{dn_{\prime\prime}}\frac{\cos kr}{r}d\omega_{\prime\prime}$.

Die Function Ψ͵ erscheint also hier als Potential von Punkten ausgedrückt, die
an der nicht gemeinsamen Oberfläche der Räume S͵ und S͵͵ liegen, während
die Punkte der gemeinsamen Trennungsfläche ganz aus dem Integral ver-
schwinden. Genau denselben Ausdruck erhält man aber für Ψ͵͵, wenn man
den Punkt α, β, γ in den Raum S͵͵ verlegt. Es sind also in diesem Falle
Ψ͵ und Ψ͵͵ Potentiale derselben auſserhalb des gemeinsamen Raumes S͵ und
S͵͵ liegenden Erregungspunkte, und beide Functionen müssen continuirlich in
einander übergehen.

Wenn wir also im Folgenden für das Geschwindigkeitspotential in ver-
schiedenen Theilen eines zusammenhängenden Luftraumes verschiedene Aus-
drücke Ψ͵ und Ψ͵͵ werden wählen müssen, wird die Continuität an der Grenz-

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