Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

man statt der rechtwinkligen Coordinaten α, β und γ Kugelcoordinaten ein,
indem man setzt:
$x-\alpha = r\cos \omega$,
$y-\beta = r\sin\omega\cos\theta$,
$z-\gamma = r\sin\omega\sin\theta$,
dann wird
$d\alpha d\beta d\gamma = r^2\sin\omega d\omega d\theta dr$.

Ist also die mit dα dβ dγ unter dem Integrationszeichen multiplicirte Gröſse
für r = 0 entweder endlich, wie qf_r, oder von der Ordnung $\frac{1}{r}$, wie $\frac{q}{r}$ und
∇_xf_r, welches gleich $-\frac{k^2}{r}$ ist, so wird die zu integrirende Gröſse unendlich
klein und über einen unendlich kleinen Raum integrirt. Daher werden die
Gröſsen Ψ' Ψ″, Ψ₀ (wegen (5^c.)) und ∇_x Ψ' unendlich klein. Dagegen ist
∇_xΨ″ endlich und hat den bekannten Werth
$\nabla_x\Psi'' = -4\pi q$.

Folglich wird aus (5^b.) und (5^c.)
$\nabla_x\Psi + k^2\Psi = \nabla_x\Psi' + \nabla_x\Psi'' + k^2\Psi' + k^2\Psi''$
und, indem wir die unendlich kleinen Gröſsen gegen die endliche vernach-
lässigen,
(3.) $\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q$,
was zu erweisen war.

§. 4.

Es läſst sich für die hier untersuchten Formen von Geschwindigkeits-
potentialen ferner dieselbe Relation erweisen, welche für die Potentialfunctionen
electrischer Massen an solchen Flächen stattfindet, die mit endlichen Massen
in unendlich dünner Schicht belegt sind.

Setzen wir
(6.) $\Psi = \int p\frac{\cos kr}{r}d\omega$,
wo dω das Flächenelement einer beliebigen Fläche Ω bezeichnet und p eine
Function, die sich in der Fläche continuirlich ändert, und untersuchen die er-
sten Differentialquotienten von Ψ für solche Punkte x, y, z des Raumes,
welche der Fläche Ω unendlich nahe liegen.