Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

die Gleichung (4.) gültig sein soll,
$\nabla_x\Phi + k^2\Phi = 0$.

Um die durch das Zeichen ∇_xΨ vorgeschriebenen Differentiationen
unter dem Integralzeichen in (5.) vornehmen zu können, denke ich mir den
ganzen Raum durch eine den Punkt α, β, γ in unendlich kleiner Entfernung
umgebende rings geschlossene Fläche getheilt, und nenne den unendlich klei-
nen inneren Raum S₀, den umgebenden äuſseren S₁. Das in dem Werthe
von Ψ (Gleichung (5.)) enthaltene Integral zerlege ich dem entsprechend in
zwei Theile, von denen der eine Ψ₀ der Integration über S₀, der andere Ψ₁
der über S₁ entspricht.

Es ist also
(5^a.) $\Psi = \Psi_0 + \Psi_1 + \Phi$.

Da Ψ₁ ein Potential von Erregungspunkten, die auſserhalb S₀ liegen, für einen
innerhalb S₀ enthaltenen Punkt ist, so ist
$\nabla_x\Psi_1 + k^2\Psi_1 = 0$,
ebenso
$\nabla_x\Phi + k^2\Phi = 0$,
also
(5^b.) $\nabla_x\Psi + k^2\Psi = \nabla_x\Psi_0 + k^2\Psi_0$.

Nun setze ich
$f_r = \frac{\cos kr}{r}-\frac{1}{r}$,
welche Gröſse f_r für r = 0 auch gleich Null wird, während aus den Gleichun-
gen (4^b.) sich ergiebt, daſs für sehr kleine Werthe von r $\frac{d^2f}{dx^2}$, $\frac{d^2f}{dy^2}$ und
$\frac{d^2f}{dz^2}$ sich auf Gröſsen von der Dimension $\frac{1}{r}$ reduciren, und für r = 0
$\nabla_x f_r = -\frac{k^2}{r}$
wird. Ferner setze ich
$\Psi' = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}f_rd\alpha d\beta d\gamma$,
$\Psi'' = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{1}{r}d\alpha d\beta d\gamma$,
beide Integrale über den unendlich kleinen Raum S₀ ausgedehnt, so daſs
(5^c.) $\Psi_0 = \Psi' + \Psi''$.

Um zu ermitteln, von welcher Gröſsenordnung Ψ', Ψ″ und ∇Ψ' sind, führe

3 *