Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

im ganzen mit Luft gefüllten Raume erfüllt sein muſs mit Ausnahme solcher
Stellen, wo veränderliche Kräfte auf die Luft wirken, schlieſsen wir, daſs in
den Formen des Integrals (4^d.), (4^f.), (4^h.) diejenigen Punkte und Theile des
Raumes, in denen die Gleichung (3^b.) nicht erfüllt ist, Erregungspunkte
des Schalls sind. Wir wollen sie auch als solche bezeichnen. Es mag in
den Formen des Integrals (4^d.) und (4^f.) die Constante A die Intensität
des betreffenden Erregungspunktes heiſsen, und in (4^h.), wo die Erregungs-
punkte continuirlich durch den Raum vertheilt gedacht sind, nennen wir die Con-
stante h ihre Dichtigkeit. Bei electrischen Problemen, wo k = 0, würden die
Erregungspunkte den Massenpunkten, die Intensität der Masse, die Dichtigkeit
der Dichtigkeit entsprechen. Da die Functionen Ψ die Bedeutung von Geschwindigkeitspotentialen
haben, wollen wir, entsprechend dem Sprachgebrauch
in der Lehre von der Electricität und dem Magnetismus, eine solche Summe
wie (4^f.), welche sich auf eine bestimmte Zahl von Punkten α, β, γ bezieht,
das Geschwindigkeitspotential dieser bestimmten Erregungspunkte nennen.
Die Gleichung (3^b.) wird also erfüllt durch die ganze Ausdehnung eines ge-
gebenen Raumes S, wenn Ψ das Geschwindigkeitspotential auſserhalb S
gelegener Erregungspunkte ist.

§. 3.

Wenn wir nun zur Betrachtung der Differentialgleichung
(3.) $\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q$
übergehen, so ist zunächst zu bemerken, daſs für k = 0, diese Gleichung in
(3^d.) $\nabla_x\Psi = -4\pi q$
übergeht, deren Integral bekanntlich ist:
$\Psi = \int\int\int \frac{q_{\alpha,\beta,\gamma}}{r}d\alpha d\beta d\gamma + \Phi$,
worin Φ eine Function bezeichnet, für welche in dem ganzen Theile des
Raumes, wo die Gleichung (3^d.) erfüllt sein soll, ∇Φ = 0 ist.

Wir wollen jetzt zeigen, daſs in ganz analoger Weise das Integral
der Gleichung
(3.) $\nabla_x\Psi + k^2\Psi = -4\pi q$
ist:
(5.) $\Psi = \int\int\int q_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma + \Psi$,
wo Φ eine Function bezeichnet, für welche in den Theilen des Raumes, wo