Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Wenn wir aber setzen
(4^f.) $\Psi = \Sigma_{\alpha,\beta,\gamma}\left[A_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}\right]$
so ist die Gleichung (3^b.) im ganzen Raume erfüllt mit Ausnahme derjenigen
Punkte, deren Coordinaten α, β, γ in der Summe vorkommen.

Denken wir uns die Punkte α, β, γ continuirlich neben einander im
Raume vertheilt, so werden aus den Summen Integrale, und wir schlieſsen,
daſs die Function
(4^g.) $\int\int\int h_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\sin kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma$
im ganzen Raume der Gleichung (3^b.) genügt, dagegen die Function
(4^h.) $\int\int\int h_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\cos kr}{r}d\alpha d\beta d\gamma$
nur in denjenigen Theilen des Raumes, für welche h = 0. In beiden soll
h eine willkürliche Function von α, β und γ bedeuten.

Wenn wir in der Gleichung (3^b.) k = 0 setzen, verwandelt sie sich in
(3^c.) $\nabla_x \Psi = 0$,
die bekannte Differentialgleichung für die Potentialfunctionen solcher Massen,
welche in die Ferne mit anziehenden oder abstoſsenden Kräften wirken, deren
Intensität dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist. Die ver-
schiedenen Formen für das Integral Ψ der Gleichung (3^b.), welche wir auf-
gestellt haben, verwandeln sich, wenn sie $\frac{\sin kr}{r}$ enthalten, in
Ψ = Constans,
welches Integral im ganzen Raume ohne Ausnahme eines Punktes der Glei-
chung (3^c.) genügt, oder, wenn sie $\frac{\cos kr}{r}$ enthalten, in
$\Psi = \Sigma\left[\frac{A}{r}\right]$
oder
$\Psi = \int\int\int \frac{h}{r}d\alpha d\beta d\gamma$,
welche beiden Formen in denjenigen Punkten des Raumes nicht genügen,
in denen anziehende oder abstoſsende Masse vorhanden ist, in denen also A
oder h nicht gleich Null ist.

Da die Gleichung
$0 = k^2\Psi + \nabla_x \Psi$

Journal für Mathematik Bd. LVII. Heft 1. 3