Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.

Masse wirkenden äuſseren Kräfte X, Y und Z seien auszudrücken als Diffe-
rentialquotienten einer Potentialfunction P, so daſs
$X = \frac{dP}{dx}$, $Y = \frac{dP}{dy}$, $Z = \frac{dP}{dz}$.

Die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Luftmasse
sind demgemäſs:

(1.) $\frac{dP}{dx} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dx} = \frac{du}{dt} + u\frac{du}{dx} + v\frac{du}{dy} + w\frac{du}{dz}$,
$\frac{dP}{dy} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dy} = \frac{dv}{dt} + u\frac{dv}{dx} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dv}{dz}$,
$\frac{dP}{dz} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dz} = \frac{dw}{dt} + u\frac{dw}{dx} + v\frac{dw}{dy} + w\frac{dw}{dz}$,
$- \frac{dh}{dt} = \frac{d(hu)}{dx} + \frac{d(hv)}{dy} + \frac{d(hw)}{dz}$.

Wenn Luft, ohne Wärme abzugeben, ihre Dichtigkeit ändert, ist
(1^a.) $p = b^2h^v$
wo b eine Constante und v = 1,42 ist. Daraus folgt

(1^b.) $\frac{dp}{dx} = b^2vh^{v-1}\frac{dh}{dx}$ und
$\frac{1}{h}\frac{dp}{dx} = b^2vh^{v-2}\frac{dh}{dx} = \frac{b^2v}{v-1}\frac{d(h^{v-1})}{dx}$,

und ähnlich für die Differentialquotienten nach y und z.

Die Schallbewegung gehört zu denjenigen Bewegungen, denen ein Ge-
schwindigkeitspotential zukommt, welches mit Φ bezeichnet werde, so daſs wir
haben:
(1^c.) $u = \frac{d\psi}{dx}$ $v = \frac{d\psi}{dy}$, $w = \frac{d\psi}{dz}$.

Setzt man die Werthe aus (1^b.) und (1^c.) in die Gleichungen (1.), so haben
die drei ersten derselben eine gemeinschaftliche Integralgleichung, nämlich:
(1^d.) $P - \frac{b^2v}{v-1}(h^{v-1}-h_0^{v-1}) = \frac{d\psi}{dt} + \tfrac{1}{2}\left\{\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d\psi}{dy}\right)^2 + \left(\frac{d\psi}{dz}\right)^2 \right\}$,
wo h₀ eine Function der Zeit sein kann, und die vierte Gleichung läſst sich
auf die Form bringen:
(1^e.) $0 = \frac{d(h^{v-1})}{dt} + (v-1)h^{v-1}\left[\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{d^2\psi}{dy^2} + \frac{d^2\psi}{dz^2}\right] + \frac{d\psi}{dx}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dx} + \frac{d\psi}{dy}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dy} + \frac{d\psi}{dz}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dz}$