Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Masse wirkenden äusseren Kräfte X, Y und Z seien auszudrücken als Diffe-rentialquotienten einer Potentialfunction P, so dass Die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Luftmasse (1.) Wenn Luft, ohne Wärme abzugeben, ihre Dichtigkeit ändert, ist (1a.) wo b eine Constante und v = 1,42 ist. Daraus folgt (1b.) und ähnlich für die Differentialquotienten nach y und z.Die Schallbewegung gehört zu denjenigen Bewegungen, denen ein Ge- Setzt man die Werthe aus (1b.) und (1c.) in die Gleichungen (1.), so haben Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. Masse wirkenden äuſseren Kräfte X, Y und Z seien auszudrücken als Diffe-rentialquotienten einer Potentialfunction P, so daſs Die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Luftmasse (1.) Wenn Luft, ohne Wärme abzugeben, ihre Dichtigkeit ändert, ist (1a.) wo b eine Constante und v = 1,42 ist. Daraus folgt (1b.) und ähnlich für die Differentialquotienten nach y und z.Die Schallbewegung gehört zu denjenigen Bewegungen, denen ein Ge- Setzt man die Werthe aus (1b.) und (1c.) in die Gleichungen (1.), so haben <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0023" n="13"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#i"><hi rendition="#g">Helmholtz</hi>, über Luftschwingungen in offenen Röhren.</hi></fw><lb/> Masse wirkenden äuſseren Kräfte <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">X, Y</hi></hi> und <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">Z</hi></hi> seien auszudrücken als Diffe-<lb/> rentialquotienten einer Potentialfunction <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">P,</hi></hi> so daſs<lb/><formula notation="TeX">X = \frac{dP}{dx}</formula>, <formula notation="TeX">Y = \frac{dP}{dy}</formula>, <formula notation="TeX">Z = \frac{dP}{dz}</formula>.</p><lb/> <p>Die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Luftmasse<lb/> sind demgemäſs:<lb/><list><item>(1.) <list rendition="#leftBraced"><item><formula notation="TeX">\frac{dP}{dx} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dx} = \frac{du}{dt} + u\frac{du}{dx} + v\frac{du}{dy} + w\frac{du}{dz}</formula>,<lb/></item><item><formula notation="TeX">\frac{dP}{dy} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dy} = \frac{dv}{dt} + u\frac{dv}{dx} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dv}{dz}</formula>,<lb/></item><item><formula notation="TeX">\frac{dP}{dz} - \frac{1}{h}\cdot \frac{dp}{dz} = \frac{dw}{dt} + u\frac{dw}{dx} + v\frac{dw}{dy} + w\frac{dw}{dz}</formula>,<lb/></item><item><formula notation="TeX">- \frac{dh}{dt} = \frac{d(hu)}{dx} + \frac{d(hv)}{dy} + \frac{d(hw)}{dz}</formula>.<lb/></item></list></item></list><lb/> Wenn Luft, ohne Wärme abzugeben, ihre Dichtigkeit ändert, ist<lb/> (1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">a</hi></hi>.) <formula notation="TeX">p = b^2h^v</formula><lb/> wo <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">b</hi></hi> eine Constante und <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">v</hi></hi> = 1,42 ist. Daraus folgt<lb/><list><item>(1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) <list rendition="#leftBraced"><item><formula notation="TeX">\frac{dp}{dx} = b^2vh^{v-1}\frac{dh}{dx}</formula> und<lb/></item><item><formula notation="TeX">\frac{1}{h}\frac{dp}{dx} = b^2vh^{v-2}\frac{dh}{dx} = \frac{b^2v}{v-1}\frac{d(h^{v-1})}{dx}</formula>,<lb/></item></list></item></list>und ähnlich für die Differentialquotienten nach <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">y</hi></hi> und <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">z</hi></hi>.</p><lb/> <p>Die Schallbewegung gehört zu denjenigen Bewegungen, denen ein Ge-<lb/> schwindigkeitspotential zukommt, welches mit Φ bezeichnet werde, so daſs wir<lb/> haben:<lb/> (1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) <formula notation="TeX">u = \frac{d\psi}{dx}</formula> <formula notation="TeX">v = \frac{d\psi}{dy}</formula>, <formula notation="TeX">w = \frac{d\psi}{dz}</formula>. </p><lb/> <p>Setzt man die Werthe aus (1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">b</hi></hi>.) und (1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">c</hi></hi>.) in die Gleichungen (1.), so haben<lb/> die drei ersten derselben eine gemeinschaftliche Integralgleichung, nämlich:<lb/> (1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">d</hi></hi>.) <formula notation="TeX">P - \frac{b^2v}{v-1}(h^{v-1}-h_0^{v-1}) = \frac{d\psi}{dt} + \tfrac{1}{2}\left\{\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d\psi}{dy}\right)^2 + \left(\frac{d\psi}{dz}\right)^2 \right\}</formula>,<lb/> wo <hi rendition="#b"><hi rendition="#i">h</hi></hi><hi rendition="#sub">0</hi> eine Function der Zeit sein kann, und die vierte Gleichung läſst sich<lb/> auf die Form bringen:<lb/> (1<hi rendition="#i"><hi rendition="#sup">e</hi></hi>.) <formula notation="TeX">0 = \frac{d(h^{v-1})}{dt} + (v-1)h^{v-1}\left[\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{d^2\psi}{dy^2} + \frac{d^2\psi}{dz^2}\right] + \frac{d\psi}{dx}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dx} + \frac{d\psi}{dy}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dy} + \frac{d\psi}{dz}\cdot\frac{dh^{v-1}}{dz}</formula><lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [13/0023]
Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
Masse wirkenden äuſseren Kräfte X, Y und Z seien auszudrücken als Diffe-
rentialquotienten einer Potentialfunction P, so daſs
[FORMEL], [FORMEL], [FORMEL].
Die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Luftmasse
sind demgemäſs:
(1.) [FORMEL],
[FORMEL],
[FORMEL],
[FORMEL].
Wenn Luft, ohne Wärme abzugeben, ihre Dichtigkeit ändert, ist
(1a.) [FORMEL]
wo b eine Constante und v = 1,42 ist. Daraus folgt
(1b.) [FORMEL] und
[FORMEL],
und ähnlich für die Differentialquotienten nach y und z.
Die Schallbewegung gehört zu denjenigen Bewegungen, denen ein Ge-
schwindigkeitspotential zukommt, welches mit Φ bezeichnet werde, so daſs wir
haben:
(1c.) [FORMEL] [FORMEL], [FORMEL].
Setzt man die Werthe aus (1b.) und (1c.) in die Gleichungen (1.), so haben
die drei ersten derselben eine gemeinschaftliche Integralgleichung, nämlich:
(1d.) [FORMEL],
wo h0 eine Function der Zeit sein kann, und die vierte Gleichung läſst sich
auf die Form bringen:
(1e.) [FORMEL]
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860 |
URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/23 |
Zitationshilfe: | Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 13. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/23>, abgerufen am 04.07.2024. |