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Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72.

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Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
gleich setzen,
.

In den unendlich entfernten Theilen des freien Raumes dagegen, wo r die
Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten bezeichnet, ist
.

Nach Eulers Theorie würde B = B = 0 sein, nach Poissons B = 0, B
eine unbestimmte kleine Grösse, nach Hopkins sowohl B wie B unbestimmte
kleine Grössen, M bleibt in allen dreien unbekannt. Wir finden folgende
Beziehungen, wenn wir unter Q die Grösse des Querschnitts der Röhre ver-
stehen, und die Fläche der Oeffnung gegen das Quadral der Wellenlänge als
verschwindend klein betrachten,
,
.

Zwischen A und B lässt sich keine allgemeine, von der Form der Mündung
unabhängige Beziehung aufstellen. Nur lässt sich nachweisen, dass, wenn der
Querschnitt der Röhre zur Fläche der Oeffnung ein endliches Verhältniss hat,
eine kleine Grösse von derselben Ordnung wie die Dimensionen der Oeff-
nung ist, die aber jeden beliebigen Werth annehmen kann, wenn die Oeffnung
sehr klein gegen den Querschnitt ist.

Wir setzen das Verhältniss

und nennen dann die Grösse a -- x0 die reducirte Länge des Stücks der
Röhre, welches zwischen x = 0 und x = -- x0 liegt, die Grösse a selbst
die Differenz der wahren und reducirten Länge der Röhre.

Nachdem diese Beziehungen zwischen den Coefficienten ermittelt sind,
wird in §. 7 die Form der Wellen in der Röhre näher bestimmt. Knoten-
flächen, d. h. Flächen kleinster Bewegung liegen, wo die reducirte Länge
der Röhre gleich einem ungeraden Vielfachen der Viertelwellenlänge ist,
Schwingungsbäuche oder Maxima der Bewegung, wo die reducirte Länge
ein gerades Vielfache der Viertelwellenlänge ist. Die Phasen der Bewegung
sind am Orte der Maxima um die Zeit einer Viertel-Undulation von denen
am Orte der Minima verschieden.


Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren.
gleich setzen,
.

In den unendlich entfernten Theilen des freien Raumes dagegen, wo r die
Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten bezeichnet, ist
.

Nach Eulers Theorie würde B = B = 0 sein, nach Poissons B = 0, B
eine unbestimmte kleine Gröſse, nach Hopkins sowohl B wie B unbestimmte
kleine Gröſsen, M bleibt in allen dreien unbekannt. Wir finden folgende
Beziehungen, wenn wir unter Q die Gröſse des Querschnitts der Röhre ver-
stehen, und die Fläche der Oeffnung gegen das Quadral der Wellenlänge als
verschwindend klein betrachten,
,
.

Zwischen A und B läſst sich keine allgemeine, von der Form der Mündung
unabhängige Beziehung aufstellen. Nur läſst sich nachweisen, daſs, wenn der
Querschnitt der Röhre zur Fläche der Oeffnung ein endliches Verhältniſs hat,
eine kleine Gröſse von derselben Ordnung wie die Dimensionen der Oeff-
nung ist, die aber jeden beliebigen Werth annehmen kann, wenn die Oeffnung
sehr klein gegen den Querschnitt ist.

Wir setzen das Verhältniſs

und nennen dann die Gröſse α — x0 die reducirte Länge des Stücks der
Röhre, welches zwischen x = 0 und x = — x0 liegt, die Gröſse α selbst
die Differenz der wahren und reducirten Länge der Röhre.

Nachdem diese Beziehungen zwischen den Coefficienten ermittelt sind,
wird in §. 7 die Form der Wellen in der Röhre näher bestimmt. Knoten-
flächen, d. h. Flächen kleinster Bewegung liegen, wo die reducirte Länge
der Röhre gleich einem ungeraden Vielfachen der Viertelwellenlänge ist,
Schwingungsbäuche oder Maxima der Bewegung, wo die reducirte Länge
ein gerades Vielfache der Viertelwellenlänge ist. Die Phasen der Bewegung
sind am Orte der Maxima um die Zeit einer Viertel-Undulation von denen
am Orte der Minima verschieden.


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[8/0018] Helmholtz, über Luftschwingungen in offenen Röhren. gleich [FORMEL] setzen, [FORMEL]. In den unendlich entfernten Theilen des freien Raumes dagegen, wo r die Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten bezeichnet, ist [FORMEL]. Nach Eulers Theorie würde B = B = 0 sein, nach Poissons B = 0, B eine unbestimmte kleine Gröſse, nach Hopkins sowohl B wie B unbestimmte kleine Gröſsen, M bleibt in allen dreien unbekannt. Wir finden folgende Beziehungen, wenn wir unter Q die Gröſse des Querschnitts der Röhre ver- stehen, und die Fläche der Oeffnung gegen das Quadral der Wellenlänge als verschwindend klein betrachten, [FORMEL], [FORMEL]. Zwischen A und B läſst sich keine allgemeine, von der Form der Mündung unabhängige Beziehung aufstellen. Nur läſst sich nachweisen, daſs, wenn der Querschnitt der Röhre zur Fläche der Oeffnung ein endliches Verhältniſs hat, [FORMEL] eine kleine Gröſse von derselben Ordnung wie die Dimensionen der Oeff- nung ist, die aber jeden beliebigen Werth annehmen kann, wenn die Oeffnung sehr klein gegen den Querschnitt ist. Wir setzen das Verhältniſs [FORMEL] und nennen dann die Gröſse α — x0 die reducirte Länge des Stücks der Röhre, welches zwischen x = 0 und x = — x0 liegt, die Gröſse α selbst die Differenz der wahren und reducirten Länge der Röhre. Nachdem diese Beziehungen zwischen den Coefficienten ermittelt sind, wird in §. 7 die Form der Wellen in der Röhre näher bestimmt. Knoten- flächen, d. h. Flächen kleinster Bewegung liegen, wo die reducirte Länge der Röhre gleich einem ungeraden Vielfachen der Viertelwellenlänge ist, Schwingungsbäuche oder Maxima der Bewegung, wo die reducirte Länge ein gerades Vielfache der Viertelwellenlänge ist. Die Phasen der Bewegung sind am Orte der Maxima um die Zeit einer Viertel-Undulation von denen am Orte der Minima verschieden.

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Zitationshilfe: Helmholtz, Hermann von: Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1860), Heft 1, S. 1-72, hier S. 8. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/helmholtz_luftschwingungen_1860/18>, abgerufen am 04.12.2024.