Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

§ 38 Ein Spatheck in ein ihm gleiches zu verwandeln.

der zweiten Kante in die der dritten überzugehen, nach der-
selben, oder nach verschiedenen Seiten abbiegen muss.“

§ 38. Um hiervon noch eine anschaulichere Idee zu geben,
wollen wir die Aufgabe stellen:

„Ein Spatheck in ein ihm gleiches (und gleich bezeichnetes)
zu verwandeln, dessen Grundseite (in derselben Ebene) gege-
ben ist, aber der des gegebenen Spathecks nicht parallel ist.“

Es sei αβ die Grundseite, αγ die Höhenseite des gegebenen Spath-
ecks, αδ die Grundseite des gesuchten (vergl. Fig. 11.).

Man ziehe von α die Parallele mit βδ, von γ mit αβ, und
nenne den Durchschnitt beider ε: so ist αε die Höhenseite eines
solchen Spathecks, welches der Aufgabe Genüge leistet. Denn
es ist
[Formel 1] weil γε mit αβ parallel ist, und
[Formel 2] weil βδ parallel αε ist. Also auch in der That
[Formel 3] Wollte man die gesammte Schaar der Spathecke haben, welche der
Aufgabe genügen, so hätte man noch von ε mit αδ die Parallele zu
ziehen, und den Punkt ε in dieser Parallelen veränderlich zu
setzen. — Wendet man diese Auflösung auf den Fall an, dass die
Grundseite des gesuchten Parallelogramms der Höhenseite des ge-
gebenen identisch ist, so gelangt man durch reine Konstruktion
zu der Formel
[Formel 4] In der That fällt dann δ auf γ (vergl. Fig. 11, b), und zieht man
dann von ε die Parallele mit αδ, welche αβ in ε₁ schneide, so
überzeugt man sich leicht, dass
[Formel 5] ist, und die obige Auflösung ergab
[Formel 6] also statt αε, seinen Werth — [αβ] gesetzt, und das negative
Zeichen dem ganzen Produkte beigelegt,
[Formel 7] Da man sich dies Gesetz des Zeichenwechsels bei der Vertauschung