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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 32 Die Ausdehnungen als Produkte.
bedeutet die Gesammtheit der Elemente, welche hervorgehen, wenn
jedes Element von A die Strecke (b+b1) erzeugt, d. h. wenn
jedes Element von A zuerst die Strecke b erzeugt, und dann jedes
der um b geänderten Elemente von A die Strecke b1 erzeugt.
Wenn zuerst jedes Element von A die Strecke b erzeugt, so ist
die Gesammtheit der so erzeugten Elemente A-b; alsdann soll
jedes der Elemente von A, nachdem es sich um b geändert hat,
die Strecke b1 erzeugen. Nun haben wir aber in § 20 gezeigt,
dass, wenn alle Elemente einer Strecke sich um gleich viel än-
dern, die so hervorgehende Strecke der ersteren gleich sei. Das-
selbe werden wir nun auch auf Ausdehnungen beliebiger Stufen
übertragen können, da diese nämlich als Verknüpfungen von
Strecken dargestellt sind, also als gleich betrachtet werden müssen,
wenn die Strecken es sind, durch deren Verknüpfung sie gebildet
sind. Also wird die Ausdehnungsgrösse A, nachdem sich alle ihre
Elemente um b geändert haben, noch sich selbst gleich geblieben
sein. Wenn also alle Elemente von A, nachdem sie sich um b
geändert haben, die Strecke b1 erzeugen, so wird dieselbe Aus-
dehnungsgrösse hervorgehen, als wenn alle Elemente von A unmit-
telbar die Strecke b1 erzeugt hätten, d. h. es wird die Ausdeh-
nungsgrösse A-b1 hervorgehen. Also werden im Ganzen die Aus-
dehnungen A-b und A-b1 erzeugt, und ihre Gesammtheit wird
gleich A-(b+b1) sein, d. h.
[Formel 1] Es ist klar, dass man durch wiederholte Anwendung dieses Bezie-
hungsgesetzes dasselbe auf beliebig viele Faktoren ausdehnen kann.
Da dies Gesetz nach § 10 das Grundgesetz der Multiplikation ist,
so werden wir sagen, die neue Verknüpfungsweise habe zur Addi-
tion des in gleichem Sinne erzeugten die multiplikative Beziehung,
somit werden auch alle daraus abgeleiteten Gesetze (§ 10) hier
gelten, und namentlich das Grundgesetz auch bestehen bleiben,
wenn einige der Grössen negativ, also mit den positiven in entge-
gengesetztem Sinne erzeugt sind. Nun haben wir das in gleichem
und das in entgegengesetztem Sinne erzeugte unter dem Namen
des Gleichartigen zusammengefasst (§ 8), und werden also sagen
können, unsere Verknüpfungsweise habe überhaupt zur Addition
des Gleichartigen die Beziehung, welche der Multiplikation im

§ 32 Die Ausdehnungen als Produkte.
bedeutet die Gesammtheit der Elemente, welche hervorgehen, wenn
jedes Element von A die Strecke (b+b1) erzeugt, d. h. wenn
jedes Element von A zuerst die Strecke b erzeugt, und dann jedes
der um b geänderten Elemente von A die Strecke b1 erzeugt.
Wenn zuerst jedes Element von A die Strecke b erzeugt, so ist
die Gesammtheit der so erzeugten Elemente A⁀b; alsdann soll
jedes der Elemente von A, nachdem es sich um b geändert hat,
die Strecke b1 erzeugen. Nun haben wir aber in § 20 gezeigt,
dass, wenn alle Elemente einer Strecke sich um gleich viel än-
dern, die so hervorgehende Strecke der ersteren gleich sei. Das-
selbe werden wir nun auch auf Ausdehnungen beliebiger Stufen
übertragen können, da diese nämlich als Verknüpfungen von
Strecken dargestellt sind, also als gleich betrachtet werden müssen,
wenn die Strecken es sind, durch deren Verknüpfung sie gebildet
sind. Also wird die Ausdehnungsgrösse A, nachdem sich alle ihre
Elemente um b geändert haben, noch sich selbst gleich geblieben
sein. Wenn also alle Elemente von A, nachdem sie sich um b
geändert haben, die Strecke b1 erzeugen, so wird dieselbe Aus-
dehnungsgrösse hervorgehen, als wenn alle Elemente von A unmit-
telbar die Strecke b1 erzeugt hätten, d. h. es wird die Ausdeh-
nungsgrösse A⁀b1 hervorgehen. Also werden im Ganzen die Aus-
dehnungen A⁀b und A⁀b1 erzeugt, und ihre Gesammtheit wird
gleich A⁀(b+b1) sein, d. h.
[Formel 1] Es ist klar, dass man durch wiederholte Anwendung dieses Bezie-
hungsgesetzes dasselbe auf beliebig viele Faktoren ausdehnen kann.
Da dies Gesetz nach § 10 das Grundgesetz der Multiplikation ist,
so werden wir sagen, die neue Verknüpfungsweise habe zur Addi-
tion des in gleichem Sinne erzeugten die multiplikative Beziehung,
somit werden auch alle daraus abgeleiteten Gesetze (§ 10) hier
gelten, und namentlich das Grundgesetz auch bestehen bleiben,
wenn einige der Grössen negativ, also mit den positiven in entge-
gengesetztem Sinne erzeugt sind. Nun haben wir das in gleichem
und das in entgegengesetztem Sinne erzeugte unter dem Namen
des Gleichartigen zusammengefasst (§ 8), und werden also sagen
können, unsere Verknüpfungsweise habe überhaupt zur Addition
des Gleichartigen die Beziehung, welche der Multiplikation im

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[53/0089] § 32 Die Ausdehnungen als Produkte. bedeutet die Gesammtheit der Elemente, welche hervorgehen, wenn jedes Element von A die Strecke (b+b1) erzeugt, d. h. wenn jedes Element von A zuerst die Strecke b erzeugt, und dann jedes der um b geänderten Elemente von A die Strecke b1 erzeugt. Wenn zuerst jedes Element von A die Strecke b erzeugt, so ist die Gesammtheit der so erzeugten Elemente A⁀b; alsdann soll jedes der Elemente von A, nachdem es sich um b geändert hat, die Strecke b1 erzeugen. Nun haben wir aber in § 20 gezeigt, dass, wenn alle Elemente einer Strecke sich um gleich viel än- dern, die so hervorgehende Strecke der ersteren gleich sei. Das- selbe werden wir nun auch auf Ausdehnungen beliebiger Stufen übertragen können, da diese nämlich als Verknüpfungen von Strecken dargestellt sind, also als gleich betrachtet werden müssen, wenn die Strecken es sind, durch deren Verknüpfung sie gebildet sind. Also wird die Ausdehnungsgrösse A, nachdem sich alle ihre Elemente um b geändert haben, noch sich selbst gleich geblieben sein. Wenn also alle Elemente von A, nachdem sie sich um b geändert haben, die Strecke b1 erzeugen, so wird dieselbe Aus- dehnungsgrösse hervorgehen, als wenn alle Elemente von A unmit- telbar die Strecke b1 erzeugt hätten, d. h. es wird die Ausdeh- nungsgrösse A⁀b1 hervorgehen. Also werden im Ganzen die Aus- dehnungen A⁀b und A⁀b1 erzeugt, und ihre Gesammtheit wird gleich A⁀(b+b1) sein, d. h. [FORMEL] Es ist klar, dass man durch wiederholte Anwendung dieses Bezie- hungsgesetzes dasselbe auf beliebig viele Faktoren ausdehnen kann. Da dies Gesetz nach § 10 das Grundgesetz der Multiplikation ist, so werden wir sagen, die neue Verknüpfungsweise habe zur Addi- tion des in gleichem Sinne erzeugten die multiplikative Beziehung, somit werden auch alle daraus abgeleiteten Gesetze (§ 10) hier gelten, und namentlich das Grundgesetz auch bestehen bleiben, wenn einige der Grössen negativ, also mit den positiven in entge- gengesetztem Sinne erzeugt sind. Nun haben wir das in gleichem und das in entgegengesetztem Sinne erzeugte unter dem Namen des Gleichartigen zusammengefasst (§ 8), und werden also sagen können, unsere Verknüpfungsweise habe überhaupt zur Addition des Gleichartigen die Beziehung, welche der Multiplikation im

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 53. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/89>, abgerufen am 28.11.2024.