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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Addition u. Subtr. der Strecken. § 20
dadurch erzeugt, dass man das Anfangselement derselben um jeden
beliebigen Theil von p1 und dann um den entsprechenden von p2
ändert. Somit können wir das allgemeine Resultat aufstellen:
"Wenn zwei Strecken gegeben sind, und man ändert ein beliebiges
Element um einen Theil der ersten, und dann (fortschreitend) um
den entsprechenden Theil der zweiten, so bildet die Gesammtheit
der so erzeugbaren Elemente die Summe jener beiden Strecken."
Nachdem wir nun den Begriff der Summe der Strecken in seiner
Allgemeinheit und Unabhängigkeit aufgestellt haben, wollen wir
noch einen Satz, den wir früher in specieller Form erwiesen hat-
ten, jetzt in allgemeinerer Form darstellen, nämlich
"Wenn alle Elemente einer Strecke sich um gleich viel än-
dern, so bleibt die so hervorgehende Strecke der ersteren
gleich."
Dass dadurch wieder eine Strecke entsteht, ist schon in § 18 ge-
zeigt, dass sie der ersteren gleich sei, folgt durch dieselben For-
meln wie in § 16 am Schlusse. Nämlich ist [ab] die ursprüng-
liche Strecke, und [aa] = [bb], so ist
[Formel 1] ,
da sich nämlich aa und bb als entgegengesetzte Grössen bei der
Addition aufheben.

§ 20. Durch die im vorigen § geführte Entwickelung ist die
selbständige Darstellung der Systeme höherer Stufen vorbereitet.
Nämlich es waren diese bisher als abhängig von gewissen zu Grunde
gelegten Aenderungsweisen dargestellt, durch welche sie eben er-
zeugt wurden. Diese Abhängigkeit können wir in so fern aufheben,
als wir zeigen können, dass dasselbe System m-ter Stufe durch je
m Aenderungsweisen erzeugbar sei, welche demselben angehören,
und welche von einander unabhängig sind (in dem Sinne von § 16),
d. h. von keinem System niederer Stufe (als der m-ten) umfasst
werden. Ich will zuerst zeigen, dass, wenn das System durch
irgend welche m Aenderungsweisen erzeugbar ist, ich dann statt
jeder beliebigen derselben eine neue von den (m -- 1) übrigen un-
abhängige demselben System m-ter Stufe angehörige Aenderungs-
weise (p) einführen, und durch diese in Verbindung mit den (m--1)
übrigen das gegebene System erzeugen kann. Da nach der Vor-
aussetzung p dem gegebenen Systeme m-ter Stufe angehört, so

Addition u. Subtr. der Strecken. § 20
dadurch erzeugt, dass man das Anfangselement derselben um jeden
beliebigen Theil von p1 und dann um den entsprechenden von p2
ändert. Somit können wir das allgemeine Resultat aufstellen:
„Wenn zwei Strecken gegeben sind, und man ändert ein beliebiges
Element um einen Theil der ersten, und dann (fortschreitend) um
den entsprechenden Theil der zweiten, so bildet die Gesammtheit
der so erzeugbaren Elemente die Summe jener beiden Strecken.“
Nachdem wir nun den Begriff der Summe der Strecken in seiner
Allgemeinheit und Unabhängigkeit aufgestellt haben, wollen wir
noch einen Satz, den wir früher in specieller Form erwiesen hat-
ten, jetzt in allgemeinerer Form darstellen, nämlich
„Wenn alle Elemente einer Strecke sich um gleich viel än-
dern, so bleibt die so hervorgehende Strecke der ersteren
gleich.“
Dass dadurch wieder eine Strecke entsteht, ist schon in § 18 ge-
zeigt, dass sie der ersteren gleich sei, folgt durch dieselben For-
meln wie in § 16 am Schlusse. Nämlich ist [αβ] die ursprüng-
liche Strecke, und [αα΄] = [ββ΄], so ist
[Formel 1] ,
da sich nämlich α΄α und ββ΄ als entgegengesetzte Grössen bei der
Addition aufheben.

§ 20. Durch die im vorigen § geführte Entwickelung ist die
selbständige Darstellung der Systeme höherer Stufen vorbereitet.
Nämlich es waren diese bisher als abhängig von gewissen zu Grunde
gelegten Aenderungsweisen dargestellt, durch welche sie eben er-
zeugt wurden. Diese Abhängigkeit können wir in so fern aufheben,
als wir zeigen können, dass dasselbe System m-ter Stufe durch je
m Aenderungsweisen erzeugbar sei, welche demselben angehören,
und welche von einander unabhängig sind (in dem Sinne von § 16),
d. h. von keinem System niederer Stufe (als der m-ten) umfasst
werden. Ich will zuerst zeigen, dass, wenn das System durch
irgend welche m Aenderungsweisen erzeugbar ist, ich dann statt
jeder beliebigen derselben eine neue von den (m — 1) übrigen un-
abhängige demselben System m-ter Stufe angehörige Aenderungs-
weise (p) einführen, und durch diese in Verbindung mit den (m—1)
übrigen das gegebene System erzeugen kann. Da nach der Vor-
aussetzung p dem gegebenen Systeme m-ter Stufe angehört, so

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[30/0066] Addition u. Subtr. der Strecken. § 20 dadurch erzeugt, dass man das Anfangselement derselben um jeden beliebigen Theil von p1 und dann um den entsprechenden von p2 ändert. Somit können wir das allgemeine Resultat aufstellen: „Wenn zwei Strecken gegeben sind, und man ändert ein beliebiges Element um einen Theil der ersten, und dann (fortschreitend) um den entsprechenden Theil der zweiten, so bildet die Gesammtheit der so erzeugbaren Elemente die Summe jener beiden Strecken.“ Nachdem wir nun den Begriff der Summe der Strecken in seiner Allgemeinheit und Unabhängigkeit aufgestellt haben, wollen wir noch einen Satz, den wir früher in specieller Form erwiesen hat- ten, jetzt in allgemeinerer Form darstellen, nämlich „Wenn alle Elemente einer Strecke sich um gleich viel än- dern, so bleibt die so hervorgehende Strecke der ersteren gleich.“ Dass dadurch wieder eine Strecke entsteht, ist schon in § 18 ge- zeigt, dass sie der ersteren gleich sei, folgt durch dieselben For- meln wie in § 16 am Schlusse. Nämlich ist [αβ] die ursprüng- liche Strecke, und [αα΄] = [ββ΄], so ist [FORMEL], da sich nämlich α΄α und ββ΄ als entgegengesetzte Grössen bei der Addition aufheben. § 20. Durch die im vorigen § geführte Entwickelung ist die selbständige Darstellung der Systeme höherer Stufen vorbereitet. Nämlich es waren diese bisher als abhängig von gewissen zu Grunde gelegten Aenderungsweisen dargestellt, durch welche sie eben er- zeugt wurden. Diese Abhängigkeit können wir in so fern aufheben, als wir zeigen können, dass dasselbe System m-ter Stufe durch je m Aenderungsweisen erzeugbar sei, welche demselben angehören, und welche von einander unabhängig sind (in dem Sinne von § 16), d. h. von keinem System niederer Stufe (als der m-ten) umfasst werden. Ich will zuerst zeigen, dass, wenn das System durch irgend welche m Aenderungsweisen erzeugbar ist, ich dann statt jeder beliebigen derselben eine neue von den (m — 1) übrigen un- abhängige demselben System m-ter Stufe angehörige Aenderungs- weise (p) einführen, und durch diese in Verbindung mit den (m—1) übrigen das gegebene System erzeugen kann. Da nach der Vor- aussetzung p dem gegebenen Systeme m-ter Stufe angehört, so

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 30. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/66>, abgerufen am 25.11.2024.