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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 19 Addition ungleichartiger Strecken.
Wenden wir auf den Begriff der Abhängigkeit, wie wir ihn in § 16
darstellten, diesen Begriff der Summe an, so ergiebt sich, dass
eine Aenderungsweise von andern abhängig sei, wenn sich die der
ersteren angehörigen Strecken als Summen von Strecken darstel-
len lassen, welche den letzteren angehören, hingegen wenn dies
nicht möglich ist, sie von ihnen unabhängig sei.

§ 19. Wir haben bisher den Begriff der Summe der Strecken
abhängig gemacht von der besonderen Erzeugungsweise des ganzen
Systems, indem, wenn Anfangs- und Endelement der Summe durch
stetiges Aneinanderschliessen der Strecken gegeben war, nun die
zwischen beiden liegende Strecke, als Theil eines Systemes erster
Stufe, durch die m ursprünglichen Aenderungsweisen des ganzen
Systemes konstruirt wurde. Diese Abhängigkeit haben wir noch
schliesslich aufzuheben. Wir haben schon oben (§ 18) gezeigt,
dass, wenn mehrere Strecken auf entsprechende Weise erzeugt sind,
dann nicht nur jedem Element und jedem Theil der einen ein
Element und ein Theil in jeder der andern entspricht, sondern
auch die Summe auf dieselbe Weise entsprechend erzeugt ist,
nämlich so, dass die Summe der entsprechenden Theile jedesmal
diesen Theilen entspricht. Hat man nun zwei beliebige Strecken
des Systemes, nämlich p1 und p2, und es sind beide als Summen
von Strecken dargestellt, welche den ursprünglichen Aenderungs-
arten des ganzen Systemes angehören, nämlich
[Formel 1] so dass man hat
[Formel 2] und sind ferner a1, a2, b1, b2 .... entsprechende Theile der Strecken
a1, a2, b1, b2 ...., also auch (a1 + a2), (b1 + b2) ... in demsel-
ben Sinne entsprechende Theile von (a1 + a2), (b1 + b2), so wird
nach dem vorigen § jeder Theil der Summe (p1 + p2), als Summe
der entsprechenden Theile gewonnen, d. h. also ein solcher ist
jedesmal gleich
[Formel 3] wo das erste Glied einen Theil von p1, das zweite den entsprechen-
den von p2 darstellt. Also wird jedes Element der Summe (p1 + p2)

§ 19 Addition ungleichartiger Strecken.
Wenden wir auf den Begriff der Abhängigkeit, wie wir ihn in § 16
darstellten, diesen Begriff der Summe an, so ergiebt sich, dass
eine Aenderungsweise von andern abhängig sei, wenn sich die der
ersteren angehörigen Strecken als Summen von Strecken darstel-
len lassen, welche den letzteren angehören, hingegen wenn dies
nicht möglich ist, sie von ihnen unabhängig sei.

§ 19. Wir haben bisher den Begriff der Summe der Strecken
abhängig gemacht von der besonderen Erzeugungsweise des ganzen
Systems, indem, wenn Anfangs- und Endelement der Summe durch
stetiges Aneinanderschliessen der Strecken gegeben war, nun die
zwischen beiden liegende Strecke, als Theil eines Systemes erster
Stufe, durch die m ursprünglichen Aenderungsweisen des ganzen
Systemes konstruirt wurde. Diese Abhängigkeit haben wir noch
schliesslich aufzuheben. Wir haben schon oben (§ 18) gezeigt,
dass, wenn mehrere Strecken auf entsprechende Weise erzeugt sind,
dann nicht nur jedem Element und jedem Theil der einen ein
Element und ein Theil in jeder der andern entspricht, sondern
auch die Summe auf dieselbe Weise entsprechend erzeugt ist,
nämlich so, dass die Summe der entsprechenden Theile jedesmal
diesen Theilen entspricht. Hat man nun zwei beliebige Strecken
des Systemes, nämlich p1 und p2, und es sind beide als Summen
von Strecken dargestellt, welche den ursprünglichen Aenderungs-
arten des ganzen Systemes angehören, nämlich
[Formel 1] so dass man hat
[Formel 2] und sind ferner α1, α2, β1, β2 .... entsprechende Theile der Strecken
a1, a2, b1, b2 ...., also auch (α1 + α2), (β1 + β2) ... in demsel-
ben Sinne entsprechende Theile von (a1 + a2), (b1 + b2), so wird
nach dem vorigen § jeder Theil der Summe (p1 + p2), als Summe
der entsprechenden Theile gewonnen, d. h. also ein solcher ist
jedesmal gleich
[Formel 3] wo das erste Glied einen Theil von p1, das zweite den entsprechen-
den von p2 darstellt. Also wird jedes Element der Summe (p1 + p2)

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[29/0065] § 19 Addition ungleichartiger Strecken. Wenden wir auf den Begriff der Abhängigkeit, wie wir ihn in § 16 darstellten, diesen Begriff der Summe an, so ergiebt sich, dass eine Aenderungsweise von andern abhängig sei, wenn sich die der ersteren angehörigen Strecken als Summen von Strecken darstel- len lassen, welche den letzteren angehören, hingegen wenn dies nicht möglich ist, sie von ihnen unabhängig sei. § 19. Wir haben bisher den Begriff der Summe der Strecken abhängig gemacht von der besonderen Erzeugungsweise des ganzen Systems, indem, wenn Anfangs- und Endelement der Summe durch stetiges Aneinanderschliessen der Strecken gegeben war, nun die zwischen beiden liegende Strecke, als Theil eines Systemes erster Stufe, durch die m ursprünglichen Aenderungsweisen des ganzen Systemes konstruirt wurde. Diese Abhängigkeit haben wir noch schliesslich aufzuheben. Wir haben schon oben (§ 18) gezeigt, dass, wenn mehrere Strecken auf entsprechende Weise erzeugt sind, dann nicht nur jedem Element und jedem Theil der einen ein Element und ein Theil in jeder der andern entspricht, sondern auch die Summe auf dieselbe Weise entsprechend erzeugt ist, nämlich so, dass die Summe der entsprechenden Theile jedesmal diesen Theilen entspricht. Hat man nun zwei beliebige Strecken des Systemes, nämlich p1 und p2, und es sind beide als Summen von Strecken dargestellt, welche den ursprünglichen Aenderungs- arten des ganzen Systemes angehören, nämlich [FORMEL] so dass man hat [FORMEL] und sind ferner α1, α2, β1, β2 .... entsprechende Theile der Strecken a1, a2, b1, b2 ...., also auch (α1 + α2), (β1 + β2) ... in demsel- ben Sinne entsprechende Theile von (a1 + a2), (b1 + b2), so wird nach dem vorigen § jeder Theil der Summe (p1 + p2), als Summe der entsprechenden Theile gewonnen, d. h. also ein solcher ist jedesmal gleich [FORMEL] wo das erste Glied einen Theil von p1, das zweite den entsprechen- den von p2 darstellt. Also wird jedes Element der Summe (p1 + p2)

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 29. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/65>, abgerufen am 25.11.2024.