Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Addition u. Subtr. der Strecken. § 18 entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während dieeine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund- änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende erscheinen, und also das Element b als ein Element des durch diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge- stellt ist. Dass nun auch durch a und b nur Ein System erster Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise. Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen, wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun- gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden, allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde auch nicht mehr von a aus das Element b erzeugt werden. Nach- dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele- mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf- gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be- stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen. Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen, sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [ab], [bg], [ag] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten Strecken, so hat man noch immer allgemein [Formel 1] d. h. "Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an- Addition u. Subtr. der Strecken. § 18 entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während dieeine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund- änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende erscheinen, und also das Element β als ein Element des durch diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge- stellt ist. Dass nun auch durch α und β nur Ein System erster Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise. Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen, wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun- gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden, allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde auch nicht mehr von α aus das Element β erzeugt werden. Nach- dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele- mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf- gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be- stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen. Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen, sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [αβ], [βγ], [αγ] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten Strecken, so hat man noch immer allgemein [Formel 1] d. h. „Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0064" n="28"/><fw place="top" type="header">Addition u. Subtr. der Strecken. § 18</fw><lb/> entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während die<lb/> eine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe<lb/> bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so<lb/> wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende<lb/> Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund-<lb/> änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b<lb/> stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des<lb/> Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig<lb/> angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende<lb/> b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von<lb/> jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für<lb/> die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen<lb/> angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende<lb/> erscheinen, und also das Element β als ein Element des durch<lb/> diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge-<lb/> stellt ist. Dass nun auch durch α und β nur Ein System erster<lb/> Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise.<lb/> Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen,<lb/> wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun-<lb/> gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden,<lb/> allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern<lb/> Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde<lb/> auch nicht mehr von α aus das Element β erzeugt werden. Nach-<lb/> dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele-<lb/> mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden<lb/> kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf-<lb/> gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken<lb/> erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be-<lb/> stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen.<lb/> Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen,<lb/> sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [αβ],<lb/> [βγ], [αγ] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten<lb/> Strecken, so hat man noch immer allgemein<lb/><formula/> d. h.<lb/><cit><quote>„Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an-<lb/> schliesst, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten<lb/> zum Endelement der letzten die Summe derselben.“</quote></cit><lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [28/0064]
Addition u. Subtr. der Strecken. § 18
entsprechende angenommen werden. Lässt man nun, während die
eine Grundänderung und die dadurch erzeugte Strecke a dieselbe
bleibt, die andere Grundänderung wachsen oder abnehmen, so
wird auch die dadurch erzeugte und der Strecke a entsprechende
Strecke b wachsen oder abnehmen, und zwar wenn die Grund-
änderung stetig wächst oder abnimmt, so wird auch die Strecke b
stetig wachsen oder abnehmen, wie dies unmittelbar im Begriff des
Stetigen liegt, somit wird, wenn die Grundänderung für b beliebig
angenommen werden kann, auch die der Strecke a entsprechende
b jede gegebene Grösse annehmen können; und dasselbe gilt von
jeder andern Strecke c u. s. w., so dass also in der That auch für
die oben gegebenen Strecken a, b, c ... solche Grundänderungen
angenommen werden können, dass jene Strecken als entsprechende
erscheinen, und also das Element β als ein Element des durch
diese Grundänderungen erzeugten Systemes erster Stufe darge-
stellt ist. Dass nun auch durch α und β nur Ein System erster
Stufe gelegt werden kann, liegt schon in dem obigen Beweise.
Ein anderes System erster Stufe könnte nämlich nur entstehen,
wenn die der Grundänderung in a entsprechenden Grundänderun-
gen der andern Strecken b, c ... anders angenommen würden,
allein dann würden auch die der Strecke a entsprechenden andern
Strecken, wie wir vorher zeigten, anders ausfallen, also würde
auch nicht mehr von α aus das Element β erzeugt werden. Nach-
dem wir nun gezeigt haben, wie in der That durch je zwei Ele-
mente ein, aber auch nur Ein System erster Stufe gelegt werden
kann, so ist nun der im Anfange dieses § angedeutete Mangel auf-
gehoben, indem jetzt für die Strecke, die als Summe zweier Strecken
erscheinen soll, nicht mehr blos Anfangs- und Endelement be-
stimmt ist, sondern die ganze Strecke in allen ihren Elementen.
Der Begriff der Summe ist daher nicht nur für die Aenderungen,
sondern auch für die Strecken selbst bestimmt; sind nämlich [αβ],
[βγ], [αγ] die nach dem so eben entwickelten Princip erzeugten
Strecken, so hat man noch immer allgemein
[FORMEL] d. h.
„Wenn man zwei oder mehrere Strecken stetig aneinander an-
schliesst, so ist die Strecke vom Anfangselement der ersten
zum Endelement der letzten die Summe derselben.“
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/64 |
| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 28. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/64>, abgerufen am 25.11.2024. |
