Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 17 Addition ungleichartiger Aenderungen. auch umgekehrt die letzteren Ausdrücke gleich oder ungleich, jenachdem die ersteren es sind, wie sogleich durch die Methode des indirecten Schlusses sich ergiebt. Wenn also die durch eine frühere Aenderung erzeugte Strecke einer späteren Aenderung unterworfen, sich gleich bleibt, so bleibt auch die durch eine spätere erzeugte der früheren unterworfen, sich gleich; und dar- aus folgt der Satz in der oben gegebenen Fassung. Nun hatten wir schon oben gezeigt, dass unter Voraussetzung dieses Satzes a * b = b * a sei; und wir haben somit für die m Aenderungswei- sen, die das System bestimmen, allgemein die Gesetze [Formel 1] , und [Formel 2] ; also ist diese Verknüpfung eine einfache; aber auch die ent- sprechende analytische Verknüpfung eine eindeutige; denn wenn ich das eine Glied der synthetischen Verknüpfung, etwa das erste, unverändert lasse, das andere aber verändere, indem ich das End- element des ersten Gliedes entweder einer anderen Aenderungs- weise unterwerfe, oder es in derselben Aenderungsweise vor oder zurückschreiten lasse, so verändert sich das zuletzt resultirende Element, welches zugleich das Endelement für das Ergebniss der Verknüpfung ist, also verändert sich dies Ergebniss; und hieraus folgt dann nach der bekannten Schlussweise (vergl. § 6) die Ein- deutigkeit der analytischen Verknüpfung. Daraus ergiebt sich nach § 7, dass die angezeigten Verknüpfungen als Addition und Sub- traktion zu bezeichnen sind, und alle Gesetze der Addition und Subtraktion für sie gelten. Da nun endlich dieselben Verknüpfungs- gesetze, welche für die m ursprünglichen Aenderungsarten gelten, auch nach den Gesetzen der Addition und Subtraktion für deren Verknüpfungen bestehen bleiben, so können wir die Resultate der bisherigen Entwickelung in dem folgenden höchst einfachen Satze zusammenfassen: "Wenn [ab] und [bg] beliebige Aenderungen darstellen, so ist [ag] = [ab]+[bg]." Indem wir nämlich diese Verknüpfung als Addition bezeichnen, so sagen wir damit die Gel- tung aller Additions- und Subtraktionsgesetze, wie wir sie in § 3 -- 7 dargestellt haben, aus *). *) Ich kann es nicht dringend genug anempfehlen, dass man die Entwicke-
§ 17 Addition ungleichartiger Aenderungen. auch umgekehrt die letzteren Ausdrücke gleich oder ungleich, jenachdem die ersteren es sind, wie sogleich durch die Methode des indirecten Schlusses sich ergiebt. Wenn also die durch eine frühere Aenderung erzeugte Strecke einer späteren Aenderung unterworfen, sich gleich bleibt, so bleibt auch die durch eine spätere erzeugte der früheren unterworfen, sich gleich; und dar- aus folgt der Satz in der oben gegebenen Fassung. Nun hatten wir schon oben gezeigt, dass unter Voraussetzung dieses Satzes a ◠ b = b ◠ a sei; und wir haben somit für die m Aenderungswei- sen, die das System bestimmen, allgemein die Gesetze [Formel 1] , und [Formel 2] ; also ist diese Verknüpfung eine einfache; aber auch die ent- sprechende analytische Verknüpfung eine eindeutige; denn wenn ich das eine Glied der synthetischen Verknüpfung, etwa das erste, unverändert lasse, das andere aber verändere, indem ich das End- element des ersten Gliedes entweder einer anderen Aenderungs- weise unterwerfe, oder es in derselben Aenderungsweise vor oder zurückschreiten lasse, so verändert sich das zuletzt resultirende Element, welches zugleich das Endelement für das Ergebniss der Verknüpfung ist, also verändert sich dies Ergebniss; und hieraus folgt dann nach der bekannten Schlussweise (vergl. § 6) die Ein- deutigkeit der analytischen Verknüpfung. Daraus ergiebt sich nach § 7, dass die angezeigten Verknüpfungen als Addition und Sub- traktion zu bezeichnen sind, und alle Gesetze der Addition und Subtraktion für sie gelten. Da nun endlich dieselben Verknüpfungs- gesetze, welche für die m ursprünglichen Aenderungsarten gelten, auch nach den Gesetzen der Addition und Subtraktion für deren Verknüpfungen bestehen bleiben, so können wir die Resultate der bisherigen Entwickelung in dem folgenden höchst einfachen Satze zusammenfassen: „Wenn [αβ] und [βγ] beliebige Aenderungen darstellen, so ist [αγ] = [αβ]+[βγ].“ Indem wir nämlich diese Verknüpfung als Addition bezeichnen, so sagen wir damit die Gel- tung aller Additions- und Subtraktionsgesetze, wie wir sie in § 3 — 7 dargestellt haben, aus *). *) Ich kann es nicht dringend genug anempfehlen, dass man die Entwicke-
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§ 17 Addition ungleichartiger Aenderungen.
auch umgekehrt die letzteren Ausdrücke gleich oder ungleich, je
nachdem die ersteren es sind, wie sogleich durch die Methode
des indirecten Schlusses sich ergiebt. Wenn also die durch eine
frühere Aenderung erzeugte Strecke einer späteren Aenderung
unterworfen, sich gleich bleibt, so bleibt auch die durch eine
spätere erzeugte der früheren unterworfen, sich gleich; und dar-
aus folgt der Satz in der oben gegebenen Fassung. Nun hatten
wir schon oben gezeigt, dass unter Voraussetzung dieses Satzes
a ◠ b = b ◠ a sei; und wir haben somit für die m Aenderungswei-
sen, die das System bestimmen, allgemein die Gesetze
[FORMEL], und
[FORMEL];
also ist diese Verknüpfung eine einfache; aber auch die ent-
sprechende analytische Verknüpfung eine eindeutige; denn wenn
ich das eine Glied der synthetischen Verknüpfung, etwa das erste,
unverändert lasse, das andere aber verändere, indem ich das End-
element des ersten Gliedes entweder einer anderen Aenderungs-
weise unterwerfe, oder es in derselben Aenderungsweise vor oder
zurückschreiten lasse, so verändert sich das zuletzt resultirende
Element, welches zugleich das Endelement für das Ergebniss der
Verknüpfung ist, also verändert sich dies Ergebniss; und hieraus
folgt dann nach der bekannten Schlussweise (vergl. § 6) die Ein-
deutigkeit der analytischen Verknüpfung. Daraus ergiebt sich nach
§ 7, dass die angezeigten Verknüpfungen als Addition und Sub-
traktion zu bezeichnen sind, und alle Gesetze der Addition und
Subtraktion für sie gelten. Da nun endlich dieselben Verknüpfungs-
gesetze, welche für die m ursprünglichen Aenderungsarten gelten,
auch nach den Gesetzen der Addition und Subtraktion für deren
Verknüpfungen bestehen bleiben, so können wir die Resultate der
bisherigen Entwickelung in dem folgenden höchst einfachen Satze
zusammenfassen: „Wenn [αβ] und [βγ] beliebige Aenderungen
darstellen, so ist [αγ] = [αβ]+[βγ].“ Indem wir nämlich diese
Verknüpfung als Addition bezeichnen, so sagen wir damit die Gel-
tung aller Additions- und Subtraktionsgesetze, wie wir sie in § 3 —
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*) Ich kann es nicht dringend genug anempfehlen, dass man die Entwicke-
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